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专题3.2 导数的应用试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C2【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2【答案】D【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D.3【2016高考新课标1文数】已知函数 (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.4【2016高考新课标文数】设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.5【2016高考山东文数】(本小题满分13分)设f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；()已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【解析】()由 可得，则，当时，时，函数单调递增；当时，时，函数单调递增， 时，函数单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ()由()知，.当时，单调递减.所以当时，单调递减.当时，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.当时，由()知在内单调递增，可得当当时，时，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.当时，即 ，当时，单调递增,当时，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.6. 【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B7.【2015高考北京，文19】设函数，（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【解析】（）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.8.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.（）求的值；（）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【解析】（I）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，当时，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.9.【2015高考天津，文20】已知函数（I）求的单调区间;（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证:.【解析】（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.（II）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.（III）由（II）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以 .10【2014高考湖南卷文第9题】若，则（ ）A. B. C. D.【答案】C11. 【2014高考辽宁卷文第12题】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】不等式变形为当时，故实数a的取值范围是；当时，记，故函数递增，则，故；当时，记，令，得或（舍去），当时，；当时，故，则综上所述，实数a的取值范围是12.【2014高考全国1文第21题】设函数，曲线处的切线斜率为0（1） 求b;（2） 若存在使得，求a的取值范围【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想因此在2017年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.预测2017年高考仍将以导数的应用为背景设置成的导数的综合题为主要考点也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力也有可能考查恒成立与存在性问题.【2017年高考考点定位】高考对导数的应用的考查主要有导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在考点一、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1. 【2016年山西四校第三次联考】已知函数,若对任意，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 【2016年山西四市高三四模】设函数.（1）求的单调区间；（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【解析】（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f（x）=ex-a， 若a0，则f（x）=ex-a0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-，+）上单调递增 ,若a0，则当x（-，lna）时，f（x）=ex-a0；当x（lna，+）时，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增. （2）由于a=1，, 令，,令，在单调递增，且在上存在唯一零点，设此零点为，则,当时，当时，,，由，又,所以的最大值为2 .考点二、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1. 【2015-2016学年度唐山市高三第一模】已知函数的极大值为m，极小值为n，则m+n=（ ）(A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2【答案】D2. 【2016年榆林二模】已知函数，（且）.（1）当时，若已知是函数的两个极值点，且满足：，求证：；（2）当时，求实数的最小值；对于任意正实数，当时，求证：.【解析】（1）当时，已知是函数两个极值点，则是方程的两根点,由，即，,或线性规划可得.考点三、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【考点针对训练】1. 【2016年安徽淮南市高三二模】函数在区间上的最大值是 .【答案】【解析】由题意得，令，因为，所以，当时，；当时，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，此时最大值为2. 【2016届邯郸市一中高三第十次研】已知函数，其中（提示：）（1）若是的极值点，求的值；（2）求的单调区间；（3）若在上的最大值是0，求的取值范围（2）当时，故的单调增区间是；单调减区间是当时，令，得，或当时，与的情况如下：-0+0+所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调减区间是当时，与的情况如下：-0+0+所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调增区间是； 单调减区间是 综上，当时，的增区间是 ，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；，减区间是和 （3）由（2）知时，在上单调递增，由，知不合题意当时，在的最大值是由，知不合题意当时，在单调递减可得在上的最大值是，符合题意，所以，在上的最大值是0时，的取值范围是 【应试技巧点拨】1. 函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论易错提示在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”2利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域(2)求导数(3)若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解3求函数在上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：为增函数（为减函数）.在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立.5.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.二年模拟1. 【2016年九江市三模】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】在区间上恒成立，即在区间上恒成立.，.2. 【2016届榆林市二模拟】函数的图象与函数的图象有三个不相同的交点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意得三个不相同的零点，又，因此从而，选D.3. 【2016届淮南市高三第二模】已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意的总有，则下列大小关系一定正确的是（ ）A B C D【答案】B4. 【2016届河南省南阳一中高三第三次模拟】已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,则不等式的解集为（ ）A（-2,+） B（0+） C（1,） D（4,+）【答案】B【解析】为偶函数，所以的图象关于对称，的图象关于对称，因此，设，在定义域上递减，所以，故选B.5. 【湖北省八校2016高三第二次联考】已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是（ ） A B C D【答案】A6. 【2016年河南省商丘市高三第三模】设函数.有下列五个命题：若对任意，关于的不等式恒成立，则；若存在，使得不等式成立，则；若对任意及任意，不等式恒成立，则；若对任意，存在，使得不等式成立，则；若存在及，使得不等式成立，则.其中，所有正确结论的序号为_.【答案】7. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设函数,若不等式0有解,则实数a的最小值为（ ）A-1 B2- C1+2e2 D1-【答案】D8. 【2016湖北省八校高三第二次联考】已知函数.（）讨论的单调性；（）当时，若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围.【解析】（）函数的定义域是，当时，所以在上为减函数， 当时，令，则，当时，为减函数，当时，为增函数， 当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数. （）当时，由（）知：在上为增函数，而，在上为增函数，结合在上的值域是知：，其中，则在上至少有两个不同的实数根，由得，记，则，记，则，在上为增函数，即在上为增函数，而，当时，当时，在上为减函数，在上为增函数， 而，当时，故结合图像得：，的取值范围是.9. 【2016届山西省榆林市二模试】已知函数.（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；（2）若正实数满足对任意都有，求正实数的最大值.10. 【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】设函数（）当时，讨论的单调性；（）当时，设在处取得最小值，求证：【解析】（）当时， ，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，且，因此当时，；当时，故在单调递减，在单调递增.（）当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增又，当满足且时，故存在唯一零点，设零点为，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为 由于，所以， ，设，则，令，得；令，得，故在单调递增，单调递减，故11.【2015届湖南省长浏宁三一中高三5月模拟】已知都是定义在上的函数，且，且，若数列的前项和大于，则的最小值为（ ）A6 B7 C8 D9【答案】A12.【2015届黑龙江省哈尔滨九中高三第三次拟】已知函数，对，使得，则的最小值为 A B C D【答案】A【解析】由可得：，令，则，所以，所以，令得，所以当时为减函数，当时为增函数，所以的最小值为 13.【2015届江苏省扬州中学高三4月双周测】已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】14.【2015届湖南省长沙市高三5月】已知函数（1）当 时，与在定义域上单调性相反，求的最小值（2）当时，求证：存在，使有三个不同的实数解，且对任意且都有（2）因为当时，且一元二次方程的，所以有两个不相等的实根 当时，为增函数；，当时，为减函数；当时，为增函数；，所以当时，一定有3个不相等的实根，分别在内，不妨设，因为，所以即，即，即所以，所以，令，则，由（1）知在上为减函数，又，所以当，又所以即 15.【2015届广东省华南师大附中高三5月三模】已知是实数，1和是函数的两个极值点（）求和的值；（）设函数的导函数，求的极值点；（）设，其中，求函数的零点个数 当时， ，于是是单调增函数，从而此时在无实根 当时，于是是单调增函数又，的图象不间断， 在（1 ， 2）内有唯一实根同理，在（一2 ，一1）内有唯一实根 当时，于是是单调减函数又， ，的图象不间断，在（一1，1）内有唯一实根因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足现考虑函数的零点：（）当时，有两个根，满足而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点（）当时，有三个不同的根，满足而有三个不同的根，故有9个零点综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点拓展试题以及解析1. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【入选理由】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题运用构造法，灵活的利用导数求最小值，构思很巧，故选此题.2.设函数是定义在上的可导函数，当时，则函数的零点个数为（ ）A.0B.1C.2 D.0或 2【答案】A【入选理由】本题主要考查导数的应用以及函数的零点，考查构造法以及函数与方程思想和逻辑推理能力，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题函数的单调性与函数的零点巧妙地结合起来，构思很巧，故选此题.3.已知，若至少存在一个使成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】由于至少存在一个使成立，所以至少存在一个使成立，即至少存在一个使成立，所以令，当时，恒成立，因此在上单调递增故当时，即实数的取值范围为 【入选理由】本题考查函数的最值，利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力充分体现了转化的数学思想，故选此题4.若直线与曲线：没有公共点，则实数的最大值为（）A1BC1D【答案】C【入选理由】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力此题难度不大,考查基础，故选此题.5.已知函数， ，若在上有三个不同的实数根，则实数的取值范围为【答案】 【解析】因为，所以若，则，此时在上至多有两个不同的实数根，因此，从而由得，因为，因此要使在上有三个不同的实数根，须满足，即，从而实数的取值范围为【入选理由】本题考查函数图象、函数与方程思想、利用导数研究函数性质等基础知识，意在考查分析问题与解决问题的能力、基本运算能力及推理能力此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题.6. 当时，函数的图象不在函数的下方，则实数的取值范围是_【答案】【入选理由】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力此题难度不大，出题角度新，符合高考考试题型，故选此题.7. 已知函数（）.（）若函数为单调递减函数，求实数的取值范围；（）当时，不等式 恒成立，求的取值范围.【解析】（）函数的定义域为. （1）当时，故函数在上单调递增； （2）当时，若在上单调递减，则，即恒成立.故有，所以. 因为，所以（当且仅当时，等号成立），故.所以. 【入选理由】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性、不等式恒成立以及函数的定义域等，考查分离参数法、函数与方程的思想、分类讨论的数学思想以及基本的运算能力和逻辑推理能力等，此题难度较大，综合性较强，符合高考试题特征，故选此题.8. 已知函数，.（）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围；（）已知且，求证：.（2）由上可知在上单调递增，即 ， 同理 .两式相加得，. 【入选理由】本题主要考查利用导数研究函数的极值及最值、证明不等式等知识，考查考生的化归与转化能力及运算求解能力.（1） 利用导数研究单调性求解；（2） 将不等式的证明合理转化为函数问题求解.此题难度较大，综合性较强，符合高考试题特征，故选此题.
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