高考小题专攻练 5 立体几何 理 新人教版

高考小题专攻练 5.立体几何小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若m,mn,n,则C.若mn,m,n,则D.若,m,n,则mn【解析】选B.若,m,n,则m与n相交、平行或异面,故A错误;因为m,mn,所以n,又因为n,所以,故B正确;若mn,m,n,则或与相交,故C错误;若,m,n,则mn或m,n异面,故D错误.2.一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为V,并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体,则V,n的值是()A.V=32,n=2 B.V=,n=3C.V=,n=6 D.V=16,n=4【解析】选B.由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,所以V=444=,边长为4的正方体V=64,所以n=3.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A.(2+) B.(4+) C.4 D.6【解析】选A.由三视图可知,该几何体由一个半球和一个圆锥构成,其表面积为S=(412+2)=(2+).3.已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:(1)lm.(2)lm.(3)lm.(4)lm.其中正确的是()A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(3)与(4)【解析】选B.因为直线l平面,所以l平面,又因为直线m平面,所以lm,故(1)正确;因为直线l平面,所以l平面,或l平面,又因为直线m平面,所以l与m可能平行也可能相交,还可能异面,故(2)错误;因为直线l平面,lm,所以m,因为直线m平面,所以,故(3)正确;因为直线l平面,lm,所以m或m,又因为直线m平面,则与可能平行也可能相交,故(4)错误.4.一个几何体的三视图如图,则其表面积为()A.20 B.18 C.14+2 D.14+2【解析】选A.由三视图得其直观图如下,由正方体截去四个角得到,故其表面积S=22+22+422+4=20.【加固训练】多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,多面体及其正(主)视图和侧(左)视图如图所示,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM的长为()A. B. C. D.2【解析】选C.如图所示,E,F分别为AD,BC的中点,则四边形MNFE为等腰梯形.过M作MOEF于O.由正(主)视图为等腰梯形,可知MN=2,AB=4,所以EO=1.由侧(左)视图为等腰三角形,可知AD=2,MO=2,所以ME=.在AME中,AE=1,所以AM=.5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离为()A.a B.a C.a D.a【解析】选A.如图所示.在A1DM中,A1M=DM=a.取A1D的中点E,连接ME,则MEA1D.所以ME=a.所以=aa=a2.根据等体积法,设点C到平面A1DM的距离为d,则=.即d=SMDCA1A,所以d=a.6.已知一个平放的棱长均为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于()A. B. C. D.【解析】选C.由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的,因为正四面体的各棱长均为4,所以正四面体体积为42=.所以没有水的部分的体积是,设其棱长为a,则a2a=,所以a=2.设小球的半径为r,则422r=,所以r=,所以球的表面积S=4=.7.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=60,AB平面BCD,则球O的表面积为()A.8 B. C. D.【解析】选D.如图,因为BC=CD=1,BCD=60,所以底面BCD为等边三角形,取CD中点为E,连接BE,所以BCD的外心G在BE上,取BC中点F,连接GF,则BF=BC=,又在RtBFG中,得BG=,过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O,则O为四面体ABCD的外接球的球心,即R=OB,因为AB平面BCD,所以OGBG,在RtBGO中,OB=.所以球O的表面积为4=.8.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,D为侧棱PC上的一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则下列命题正确的是()A.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为B.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为C.AD平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为D.BD平面PAC且三棱锥D-ABC的体积为【解析】选C.因为PA平面ABC,所以PABC.又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAD.又由三视图可得,在PAC中,PA=AC=4,D为PC的中点,所以ADPC,又PCBC=C,故AD平面PBC.又由三视图可知BC=4,而ADC=90,BC平面PAC,故VD-ABC=VB-ADC=224=.9.如图所示,等腰直角三角形ABC中,AB=2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,且DEAC,EFAB,现沿DE折叠,使平面BDE平面ADEF,若此时棱锥B-ADEF的体积最大,则BD的长为()A. B. C.1 D.【解析】选B.设BD的长为x时,棱锥B-ADEF的体积最大.因为等腰直角三角形ABC中,AB=2,DEAC,EFAB,所以BD为棱锥B-ADEF的高,此时底面ADEF为矩形,AD=2-x,DE=x,故棱锥B-ADEF的体积V=ADDEBD=(2-x)xx=-x3+x2.V=-x2+x,当0x0,此时函数为增函数;当x2时,V0,此时函数为减函数,故当x=时函数取得最大值,即当BD=时,棱锥B-ADEF的体积最大.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)10.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_.【解析】过F点作HFBE，与BC交于点H.过A点作EF的垂线AG，垂足为G，连接HG，HE，AH.设正方形ABCD的边长为2，因为平面AEF平面BCDFE，且AGEF，所以AG平面BCDFE.因为BE=BH=AE=AF=1，所以EH=EF=.因为G为EF的中点，所以EG=，AG=.又因为HF=2，所以HEG=90，所以在RtEHG中，HG=.所以在RtAGH中，AH=.因为HFBE，所以AF与BE所成的角即为AFH.在AHF中，AF=1，HF=2，AH=，所以HAF=90.所以cosAFH=.答案：11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_.【解析】由三视图可知，几何的直观图如图所示.平面AED平面BCDE，四棱锥A-BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED=11=，SABC=SABE=1=，SACD=1=.答案：12.如图所示,ABC中,C=90,B=60,AB=2,在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上,半圆与BC,AB相切于点C,M,与AC交于N),则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的内外表面积之比为_.【解析】在RtABC中,因为C=90,B=60,AB=2,所以BC=,AC=3.所以几何体的外表面积为S1=BC2+BCAB=9.设圆O的半径为r,由圆的性质得BM=BC=,所以AM=,OM=r,因为RtAOMRtABC,所以=,即=,解得r=1.所以几何体的内表面积S2=4r2=4.所以几何体的内外表面积之比为=.答案:13.三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，BAC=30.若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.【解析】因为AB=2，AC=4，BAC=30，所以BC=2，所以AB2+BC2=AC2，所以ABC为直角三角形，且ABC=90，所以三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2，所以R2=(2-R)2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4=18.答案：18