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专题3.1 导数以及运算、应用【三年高考】1. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A2【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】3【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【解析】（）（）当时，,因此，当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）当时，在内无极值点，所以（）当时，由，知又，所以综上， （）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.4【2016高考山东理数】已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.5【2016高考新课标1卷】已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【解析】（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故6. 【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C7.【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A8.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.9. 【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【解析】设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. （）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.10.【2014江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.【答案】【解析】设切点，则由得：，所以点的坐标是.11. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对（1）中的.12. 【2014高考大纲理第22题】函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.【解析】（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,导数的几何意义与导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想因此在2017年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.预测2017年高考仍将以导数的应用为背景设置成的导数的综合题为主要考点也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力也有可能考查恒成立与存在性问题.【2017年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算，导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1常见函数的求导公式（）（C为常数）；（）；（）；（）；（5）；（6）；（7）且；（8）2两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）3.形如y=f的函数称为复合函数复合函数求导步骤：分解求导回代法则：y|= y| u|【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导【考点针对训练】（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数.考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率也就是说，曲线在点处的切线的斜率是相应地，切线方程为【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A B C和 D【答案】C.2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为_【答案】【解析】的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，可得的范围是故答案为考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1. 【2016年山西四校第三次联考】已知函数,若对任意，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 【2016年山西四市高三四模】设函数.（1）求的单调区间；（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【解析】（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f（x）=ex-a， 若a0，则f（x）=ex-a0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-，+）上单调递增 ,若a0，则当x（-，lna）时，f（x）=ex-a0；当x（lna，+）时，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增. 考点五、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1. 【2015-2016学年度唐山市高三第一模】已知函数的极大值为m，极小值为n，则m+n=（ ）(A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2【答案】D【解析】因为，令，解得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时函数取得极大值，当时函数取得极小值，所以，故选D2. 【2016年榆林二模】已知函数，（且）.（1）当时，若已知是函数的两个极值点，且满足：，求证：；（2）当时，求实数的最小值；对于任意正实数，当时，求证：.考点五、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【考点针对训练】1. 【2016年安徽淮南市高三二模】函数在区间上的最大值是 .【答案】2. 【2016届邯郸市一中高三第十次研】已知函数，其中（提示：）（1）若是的极值点，求的值；（2）求的单调区间；（3）若在上的最大值是0，求的取值范围【解析】（1）依题意，令，解得经检验，时，符合题意.（2）当时，故的单调增区间是；单调减区间是当时，令，得，或当时，与的情况如下：-0+0+所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调减区间是当时，与的情况如下：-0+0+所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调增区间是； 单调减区间是 综上，当时，的增区间是 ，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；，减区间是和 【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy=f,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点3函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论易错提示在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”4利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域(2)求导数(3)若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解5求函数在上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值6.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：为增函数（为减函数）.在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立.7.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A B C D【答案】A2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，令，为增函数，所以3. 【2016年江西三校第二次联考】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】，因为，所以当时，即在上递减，所以，故选A4. 【湖北2016年9月三校联考】已知函数的图象如图所示，则函数的单调减区间为（ ）A B C D【答案】B5. 【2016年江西师大附中高三月考】已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C6. 【2016年江西六校联考】已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为( )AB C D【答案】A【解析】，当时，恒成立，所以在上为增函数；当时，由，得，当时，为增函数，当时，为减函数，所以函数在上有一个最大值为，要使方程，即有四个实数根，令，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，则只需，即，解得：；所以，使得函数，方程有四个实数根的的取值范围是；故选A7. 【河南六市高2016年高三三模】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C.【解析】，在上单调递增，上单调递减，又，不等式只有两个整数解，即实数的取值范围是故选C8.【2016年河北石家庄高三二模】已知函数，若过点可作曲线的两条切线，且点不在函数的图象上，则实数的值为_.【答案】或9. 【2016届山西省忻州一中等四校高三下第四次联考】设函数()当时，求函数的极值；()若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.10. 【2016届安徽师大附中高三最后一卷】定义在上的函数满足，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）如果满足，那么称比更靠近.当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由【解析】（1），令解得由，令得，所以，.（2）因为，所以=，当时，总有，函数在上单调递增；当时，由得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减；综上，当时，总有，函数在上单调递增；当时， 在上单调递增， 在上单调递减.11. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于（ ）A. B.2 C. D. 【答案】C.【解析】因为，所以，所以，解之得.故应选C.12.【吉林市普通高中 20142015 学年度高三毕业年级摸底】 已知曲线 在点 P(1, 4) 处的切线与直线 l 平行且距离为，则直线 l 的方程为（ ）A.或 B. C.或 D. 以上都不对【答案】C【解析】因为曲线，所以，所以在点P（1，4）处的切线的斜率为-4，方程为4x+y-8=0，与直线l平行且距离为的直线方程为4x+y+c=0，则，所以c=9或-25，因此直线的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0，故选C13.【雅安中学20142015学年上期9月试题】已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B14.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数 ,，（，为常数）（）若在处的切线过点，求的值；（）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围15. 【2015届湖南省长沙市雅礼中学高三4月】已知函数在处取得极值（）求实数的值； （）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；（）证明:对任意的正整数,不等式都成立【解析】（） 时,取得极值, 故解得经检验符合题意（） 的定义域为,由（1）知令得,或（舍去）,当时, ,单调递增;当时, ,单调递减为在上的最大值,故（当且仅当时,等号成立） 对任意正整数,取得, ，故（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立假设时，成立，则时，有做差比较：构建函数，则，单调递减，取，即，亦即，故时，有，不等式成立综上可知，对任意的正整数,不等式都成立拓展试题以及解析1. 已知函数，为的导函数，则的图象是（ ）【答案】A【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题2函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，直线的的斜率为，由题意知方程（）有解，因为，所以，故选D【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.3. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【入选理由】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题运用构造法，灵活的利用导数求最小值，构思很巧，故选此题.4. 设函数是定义在上的可导函数，当时，则函数的零点个数为（ ）A.0B.1C.2 D.0或 2【答案】A【入选理由】本题主要考查导数的应用以及函数的零点，考查构造法以及函数与方程思想和逻辑推理能力，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题函数的单调性与函数的零点巧妙地结合起来，构思很巧，故选此题.5. 已知函数， ，若在上有三个不同的实数根，则实数的取值范围为【答案】 【解析】因为，所以若，则，此时在上至多有两个不同的实数根，因此，从而由得，因为，因此要使在上有三个不同的实数根，须满足，即，从而实数的取值范围为【入选理由】本题考查函数图象、函数与方程思想、利用导数研究函数性质等基础知识，意在考查分析问题与解决问题的能力、基本运算能力及推理能力此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题.6. 已知函数（）.（）若函数为单调递减函数，求实数的取值范围；（）当时，不等式 恒成立，求的取值范围.【入选理由】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性、不等式恒成立以及函数的定义域等，考查分离参数法、函数与方程的思想、分类讨论的数学思想以及基本的运算能力和逻辑推理能力等，此题难度较大，综合性较强，符合高考试题特征，故选此题.7. 已知函数() 若函数在处的切线过点，求的值；（）若，求证：；（）若恰有三个不同的零点，求的取值范围【入选理由】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力本题比较综合，特别是第二问证明不等式问题是高考常考题型，故选此题.8. 已知函数，.（）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围；（）已知且，求证：.【解析】 （1）由题意知，函数的定义域为. ，令得.当单调递增；当单调递减， 当时,不等式在上恒成立，等价于在上恒成立， 设函数由上面可知，在处取得极大值，也是最大值，. 【入选理由】本题主要考查利用导数研究函数的极值及最值、证明不等式等知识，考查考生的化归与转化能力及运算求解能力.（1） 利用导数研究单调性求解；（2） 将不等式的证明合理转化为函数问题求解.此题难度较大，综合性较强，符合高考试题特征，故选此题.
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