资源描述
第4讲导数的热点问题(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)上单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0，因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x2kx对任意的x(0，)恒成立，求实数k的取值范围(1)解根据题意，得f(x)ex2x，则f(0)1b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入yf(x)，得a1，故f(x)exx21.(2)证明令g(x)f(x)x2xexx1.由g(x)ex10，得x0，当x(，0)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)ming(0)0，f(x)x2x.(3)解f(x)kx对任意的x(0，)恒成立等价于k对任意的x(0，)恒成立令(x)，x0，得(x).由(2)可知，当x(0，)时，exx10恒成立，令(x)0，得x1；令(x)0，得0x1.y(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)，(x)min(1)e2，k(x)mine2，实数k的取值范围为(，e2)思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0)(1)当x0时，求证：f(x)1a；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围(1)证明设(x)f(x)1aaln xa(x0)，则(x).令(x)0，则x1，当0x1时，(x)1时，(x)0，所以(x)在(1，)上单调递增，故(x)在x1处取到极小值也是最小值，故(x)(1)0，即f(x)1a.(2)解由f(x)x得aln x1x，即a.令g(x)(1xe)，则g(x).令h(x)ln x(1x0，故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)0.因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，则g(x)g(e)e1，即e1，所以a的取值范围为e1，)热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解例2已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a1，函数yf(x)的图象与函数g(x)x3x2m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围解(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(x2x1)ex(2x1)ex(x23x)ex，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e.又因为f(1)e，所以所求切线的方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)当a1时，f(x)(x2x1)ex，f(x)(x2x)ex，所以yf(x)在(，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，故f(x)在x1处取得极小值，在x0处取得极大值1.而g(x)x2x，所以yg(x)在(，1)上单调递增，在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增故g(x)在x1处取得极大值m，在x0处取得极小值m.因为函数yf(x)与yg(x)的图象有3个不同的交点，所以f(1)g(0)，所以m1，即m的取值范围为(，1)思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势跟踪演练2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得10，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练3经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1. 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围解(1) 若a，由y2y1，得x2x1x()2.解得40x6.因为1x14，所以1x6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)当1x6时，g(x)(x)xg(6).当6x0，得x0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，所以即解得00.当2a10，即a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当02a11，即a1，即a0时，函数f(x)在(1,2a1)上单调递减，在(0,1)，(2a1，)上单调递增(3)根据(2)知，当a时，函数f(x)在1,2上单调递减若x1x2，则不等式|f(x1)f(x2)|对任意正实数恒成立，此时(0，)若x1x2，不妨设1x1f(x2)，原不等式即f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)对任意的a，x1，x21,2恒成立，设g(x)f(x)，则对任意的a，x1，x21,2，不等式g(x1)g(x2)恒成立，即函数g(x)在1,2上为增函数，故g(x)0对任意的a，x1,2恒成立g(x)x(2a2)0，即x3(2a2)x2(2a1)x0，即(2x2x2)ax32x2x0对任意的a恒成立由于x1,2，2x2x20，故只要(2x2x2)x32x2x0，即x37x26x0对任意的x1,2恒成立令h(x)x37x26x，x1,2，则h(x)3x214x60恒成立，故函数h(x)在区间1,2上是减函数，所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8，故实数的取值范围是8，)A组专题通关1函数f(x)的定义域为R，f(1)3，对任意xR，f(x)3x6的解集为_答案(，1)解析设g(x)f(x)(3x6)，则g(x)f(x)30的解集是x|x0，b0，e是自然对数的底数，若ea2aeb3b，则a与b的大小关系为_答案ab解析由ea2aeb3b，有ea3aeb3b，令函数f(x)ex3x，则f(x)在(0，)上单调递增，因为f(a)f(b)，所以ab.3若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_答案(，4解析条件可转化为a2ln xx(x0)恒成立设f(x)2ln xx，则f(x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4如果函数f(x)ax2bxcln x(a，b，c为常数，a0)在区间(0,1)和(2，)上均单调递增，在(1,2)上单调递减，则函数f(x)的零点个数为_答案1解析由题意可得f(x)2axb，则解得所以f(x)a(x26x4ln x)，则极大值f(1)5a0，极小值f(2)a(4ln 28)0，结合函数图象(图略)可得该函数只有一个零点5做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为_ dm.答案3解析设圆柱的底面半径为R dm，母线长为l dm，则VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小S表R22RlR22，所以S表2R.令S表0，得R3，则当R3时，S表最小6关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4ax1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”给出下列函数：yx3x1；y3x2(sin xcos x)；yex1；f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_答案解析因为x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，即(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，所以函数f(x)在R上是增函数由y3x210得x0恒成立，所以为“H函数”；由yex0恒成立，所以为“H函数”；由于为偶函数，所以不可能在R上是增函数，所以不是“H函数”综上可知，是“H函数”的有.8已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2,2时，函数yf(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是_答案(，6)解析根据题意知x3x23xx3x2x，设g(x)x3x2x，则g(x)x22x，则g(x)0恒成立，所以g(x)在2,2上单调递增，所以g(x)maxg(2)3，则c6.9.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，为方便游客观光，拟定在曲线C上某点P处分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数yx(1x9)模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元，题中所涉及长度单位均为百米(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价解(1)在如图所示的平面直角坐标系中，因为曲线C的方程为yx(1x9)，PMx，所以点P的坐标为(x，x)，直线OB的方程为xy0.则点P到直线xy0的距离为.又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，则两条道路总造价为f(x)5x405(x)(1x9)(2)因为f(x)5(x)，所以f(x)5(1).令f(x)0，得x4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f(x)0f(x)极小值所以当x4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)5(4)30.B组能力提高10定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f； f(1)f； ff.答案解析f(x)0，0，函数在上单调递增，从而，即fx，若f(2a)f(a)22a，则实数a的取值范围是_答案(，1解析令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)f(x)f(x)x20，得g(x)为R上的奇函数当x0时，g(x)f(x)x0，故g(x)在(0，)上单调递增，再结合g(0)0及g(x)为奇函数，知g(x)在R上为增函数又g(2a)g(a)f(2a)f(a)f(2a)f(a)22a(22a)22a0，则g(2a)g(a)2aaa1，即a(，112直线ya分别与直线y2(x1)，曲线yxln x交于点A，B，则AB的最小值为_答案解析解方程2(x1)a，得x1.设方程xln xa的根为t(t0)，则tln ta，则AB.设g(t)1(t0)，则g(t)(t0)，令g(t)0，得t1.当t(0,1)时，g(t)0，所以g(t)ming(1)，所以AB，所以AB的最小值为.13已知函数f(x)x3kx2k(kR)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线的斜率为12，求函数f(x)的极值；(2)设k0或x0，f(x)单调递增；当4x0时，f(x)0，f(x)单调递减可得f(x)的极小值为f(0)4，f(x)的极大值为f(4).(2)由题意得g(x)x2kx.设tx2(0,2，可得F(x)h(t)t2kt(t)2，k0.当4k0时，(0,2)，h(t)minh()；当k4时，2，)，h(t)在(0,2)上单调递减，h(t)minh(2)42k.综上可得，h(t)min
展开阅读全文