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第2讲四种策略搞定填空题题型分析高考展望填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象)根据填空题的特点，在解答时要做到四个字“快”“稳”“全”“细”快运算要快，力戒小题大做；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；细审题要细，不能粗心大意高考必会题型方法一直接法根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件例1在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的值为_答案解析方法一由正弦定理，即2R，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入，得，即2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，所以2sin Acos Bsin(BC)0.在ABC中，sin(BC)sin A，所以2sin Acos Bsin A0，又sin A0，所以cos B.又角B为ABC的内角，所以B.方法二由余弦定理，即cos B，cos C，代入，得，整理，得a2c2b2ac，所以cos B，又角B为ABC的内角，所以B.点评直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键变式训练1已知数列an满足a11，an1an2n，则S2 016_.答案321 0083解析由题意得anan12n，an2an12n12，因此a1，a3，a5，构成一个以1为首项，2为公比的等比数列；a2，a4，a6，构成一个以2为首项，2为公比的等比数列；从而S2 016(a1a3a2 015)(a2a4a2 016)23(21 0081)方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例例2(1)若函数f(x)sin 2xacos 2x的图象关于直线x对称，则a_.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_答案(1)1(2)解析(1)由题意，对任意的xR，有f(x)f(x)，令x，得f(0)f()，得a1.(2)方法一ABC为等边三角形时满足条件，则SABC.方法二c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.点评求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解变式训练2(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.(2)如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_答案(1)(2)2解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又因为函数为偶函数，所以f()f()0，即ln(e11)ln(e1)0，ln e1a0，解得a，将a代入原函数，检验知f(x)是偶函数，故a.(2)用特殊值法，可设ABACBM1，因为m，所以m，过点C引AM的平行线，并延长MN，两线相交于点E，则AEBC2OC，易得ANAC，因为n，所以n，可知mn2.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确、规范地作出相应的图形例3(1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是_(2)已知函数f(x)x|x2|，则不等式f(x)f(1)的解集为_答案(1)2,16(2)1，)解析(1)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，d2()22.最大值为点Q到点A的距离的平方，d16.取值范围是2,16(2)函数yf(x)的图象如图，由不等式f(x)f(1)知，x1，从而得到不等式f(x)f(1)的解集为1，)点评数形结合在解答填空题中的应用，就是利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果变式训练3已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析方程f(x)xa0的实根也就是函数yf(x)与yax的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当a1时，两个函数图象有两个交点，当a1时，两个函数图象的交点只有一个所以实数a的取值范围是(1，)方法四构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法例4(1)若aln ，bln ，cln ，则a，b，c的大小关系为_(2)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，AED、EBF、FCD分别沿着DE、EF、FD折起，使A、B、C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_答案(1)abc(2)解析(1)令f(x)ln xx(0x1)，则f(x)1，0x0，f(x)为增函数又，ab0，所以不合题意，舍去，所以tan ，所以tan 2.4一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为_答案解析一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)，共15种，所以所求概率为.5已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.答案2解析方法一如图所示，在OAB中，|1，AOB60，延长BA到C使BOC90，则A为BC的中点，c2ab，则t2.方法二由已知bc0，即tab(1t)b20，t(1t)0，因此t2.6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.答案解析令a3，b4，c5，则ABC为直角三角形，且cos A，cos C0，代入所求式子，得.7直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M、N两点，若|MN|2，则k的取值范围是_答案解析由题意，得圆心到直线的距离d，若|MN|2，则4d2()2，解得k.8设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_答案，解析f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a.9已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量xy，则0x，0y的概率是_答案解析由平面向量基本定理及点P为ABCD内部或边界上任意一点，可知0x1且0y1，又满足条件的x，y满足0x，0y，所以P(A).10某程序框图如图所示，若a3，则该程序运行后，输出的x值为_答案31解析第一次循环，x2317，n2；第二次循环，x27115，n3；第三次循环，x215131，n4，程序结束，故输出x31.11.，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是_答案0得x2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.12设变量x，y满足约束条件则的最小值是_答案1解析作出变量x，y满足的平面区域，如图阴影部分所示，表示的几何意义是平面区域内的一点与点P(1,0)连线的斜率，结合图形可知，PA的斜率最小，所以的最小值为1.13已知椭圆1的左焦点F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_答案3解析不妨设A(2cos ，sin )，(0，)，FAB的周长为2(|AF|sin )2(2cos sin )44sin()当，即A(1，)时，FAB的周长最大所以FAB的面积为S233.14三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.答案解析如图，设SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.15已知函数f(x)2xa，g(x)xex，若对任意x10,1，存在x21,1，使f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_答案2e，解析f(x)2xa为增函数，x10,1，f(x1)的范围是a,2a，易知g(x)也为增函数，当x21,1时，g(x2)的范围是，e，由题意得2ea.16若数列an，bn的通项公式分别是an(1)n2 016a，bn2，且anbn，对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是_答案2，)解析由题意，当n为偶数时，a2恒成立，可得a；当n为奇数时，a2恒成立，可得a2，故2a.17已知数列an中，a11，anna2n，a2n1an1，则a1a2a3a99_.答案1 275解析anna2n，ana2n11，a2n1a2nn1，a1a2a3a99a1(a2a3)(a4a5)(a98a99)123501 275.18设M，N分别是曲线f(x)x3x2(x)与g(x)aln x(x)上一点，MON是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是_答案(0，解析MON是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y轴上，M，N两点的横坐标互为相反数，设M(t，t3t2)，N(t，aln t)(t)，由题意知0，有t2(t2t3)aln t0，整理得(t1)ln t(t)，令h(x)(x1)ln x(x)，则h(x)ln x10，h(x)在，)上是增函数，h(t)h()，解得0a.
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