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第3讲统计与统计案例1(2016课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()A各月的平均最低气温都在0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20 的月份有5个答案D解析由题意知，平均最高气温高于20 的有七月，八月，故选D.2(2016山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D140答案D解析设所求人数为N，则N2.5(0.160.080.04)200140，故选D.3(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛答案B解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：18号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从18号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛故选B.4(2016上海)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是_(米)答案1.761.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等；2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.热点一抽样方法1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体数较少2系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成例1(1)某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本若从编号为1,2,3，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A13 B17C19 D23(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为_答案(1)D(2)2解析(1)因为第一组的编号为1,2,3，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.(2)由题意可得即解得z12，或z4(舍去)，故y8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为.故乙组城市应抽取的个数为82.思维升华(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例跟踪演练1(1)要考察某公司生产的500克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是_(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)(2)利用分层抽样的方法在学生总数为1 200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为_答案(1)068(2)720解析(1)由随机数法可知抽取样本个体的编号为331,572,455,068，故第4个样本个体的编号为068.(2)由于样本容量为20，其中的男生人数为12，从而该年级男生人数约为1 200720.热点二用样本估计总体1频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率组距.2频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和例2(1)在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A平均数 B标准差C众数 D中位数(2)若五个数1,2,3,4，a的平均数为3，则这五个数的标准差是_答案(1)B(2)解析(1)设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yixi5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选B.(2)由平均数的定义知3，所以10a15，即a5；由标准差的计算公式可得s.思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小跟踪演练2(1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A117 B118C118.5 D119.5(2)某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50,60元的学生有30人，则n的值为()A100 B1 000C90 D900答案(1)B(2)A解析(1)22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为985642，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为4276118.(2)支出在50,60元的频率为10.10.240.360.3，所以n300.3100，故选A.热点三统计案例1线性回归方程方程x称为线性回归方程，其中，(，)称为样本点的中心2随机变量K2，其中nabcd.例3(1)(2015北京)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_(2)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1 成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2 视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3 智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4 阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩 B视力 C智商 D阅读量答案(1)乙数学(2)D解析(1)由散点图可知：越靠近坐标原点O名次越好，乙同学语文成绩好，而总成绩年级名次靠后；而甲同学语文成绩名次比总成绩名次差，所以应是乙同学语文成绩名次比总成绩名次靠前丙同学总成绩年级名次比数学成绩年级名次差，所以丙同学成绩名次更靠前的是数学(2)根据数据求出K2的值，再进一步比较大小A中，a6，b14，c10，d22，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2.B中，a4，b16，c12，d20，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2.C中，a8，b12，c8，d24，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2.D中，a14，b6，c2，d30，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2.6.635，所以有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选C.(2)依题意知正确；0.95x99.88,0.950，故正确；若身高x增加1，则其体重约为0.95(x1)99.880.95x99.880.95，约增加0.95 kg，故正确；若男生身高为180 cm，则其体重约为0.9518099.8871.12 kg，故正确.1某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地分别随机调查了10个用户，将满意度的分数绘成茎叶图如图所示设甲、乙两地的满意度分数的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.甲m乙B.甲乙，m甲m乙C.甲乙，m甲m乙D.甲乙，m甲乙中位数分别为m甲75，m乙73，所以m甲m乙故选B.2某校为了了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为_押题依据频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点答案58解析由图知，(0.040.12x0.140.05)21，解得x0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.150.14)20.58，所求人数为1000.5858.3某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程x，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：， )押题依据线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点解(1)散点图如图(2)由表中数据得：iyi52.5，3.5，3.5，54， 0.7，1.05，0.7x1.05，回归直线如图所示(3)将x10代入线性回归方程，得0.7101.058.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时A组专题通关1某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8.5x7.5，则表中的m的值为()x24568y2535m5575A.50 B55C60 D65答案C解析5，又8.57.550，因此50，m60，故选C.2某校高三学生有3 000名，在一次模拟考试中数学成绩X服从正态分布N(100，2)，已知P(80X0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2019年的年份代号t11代入(1)中的线性回归方程，得0.5112.37.8，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元10(2015福建)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解方法一(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10个其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共9个所以所求的概率P.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于455.56.57.56.05.方法二(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10个其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：B1，B2，共1个所以所求的概率P1.(2)同方法一B组能力提高11某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：序号12345678910数学成绩95758094926567849871物理成绩90637287917158829381序号11121314151617181920数学成绩67936478779057837283物理成绩77824885699161847886若数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85(含85分)以上为优秀有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩有关系()A99.9% B99.5%C97.5% D95%参考数据公式：独立性检验临界值表P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验随机变量K2的值的计算公式：K2答案B解析列出22的列联表：数学成绩优秀数学成绩不优秀总计 物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213总计61420根据列联表可以求得K28.8027.879，所以有99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩有关系，故选B.12为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案10解析设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知样本平均数为7，且(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，5个整数的平方和为20，且样本数据互不相同，则必为0119920，由|x7|3可得x10或x4.由|x7|1可得x8或x6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.13去年“十一”期间，昆曲高速公路车辆较多某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：60,65)，65,70)，70,75)，75,80)，80,85)，85,90后，得到如图的频率分布直方图(1)调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？(2)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；(3)若从这40辆车速在60,70)的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在65,70)的概率解(1)系统抽样(2)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5；由题图可知，中位数应该在7580之间，设为m，则0.0150.0250.0450.06(m75)0.5，m77.5，即中位数的估计值为77.5.(3)这40辆车中，车速在60,70)的共有5(0.010.02)406(辆)，其中车速在65,70)的有50.02404(辆)，记为A，B，C，D，车速在60,65)的有50.01402(辆)，记为a，b.若从车速在60,70)的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有：A，B，A，C，A，D，A，a，A，b，B，C，B，D，B，a，B，b，C，D，C，a，C，b，D，a，D，b，a，b，共15种不同的结果，其中抽出的2辆车车速都在65,70)的结果有6种，因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这40辆车速在60,70)的汽车中任意抽取2辆，抽出的2辆车车速都在65,70)的概率为P.
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