高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第16练 三角函数的化简与求值 文

第16练三角函数的化简与求值题型分析高考展望三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用体验高考1(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于()AB.CD.答案D解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2(2015重庆)若tan 2tan ，则等于()A1 B2C3 D4答案C解析3.3(2016四川)cos2sin2_.答案解析由题可知，cos2sin2cos.4(2016课标全国甲)若cos，则sin 2等于()A.B.CD答案D解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221，故选D.5(2016课标全国丙)若tan ，则cos22sin 2等于()A.B.C1 D.答案A解析tan ，则cos22sin 2.高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2cos21；tan .基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos2cos2的值解(1)方法一tan 2，cos0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos2cos2.点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2cos2代换“1”，变成分式后再化简变式训练1已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.题型二利用诱导公式化简与求值1六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”2诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2(1)设f()，则f_.(2)化简：_.答案(1)(2)0解析(1)f()，f.(2)原式sin sin 0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧变式训练2(1)(2016课标全国乙)已知是第四象限角，且sin，则tan_.(2)已知cosa(|a|1)，则cossin_.答案(1)(2)0解析(1)将转化为().由题意知sin()，是第四象限角，所以cos()0，所以cos().tan()tan()tan().(2)coscoscosa.sinsincosa，cossin0.题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等例3化简：(1)sin 50(1tan 10)；(2).解(1)sin 50(1tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501.(2)原式cos 2x.点评(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形变式训练3(1)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan的值为_(2)的值是()A.B.C.D.(3)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A.BC.D答案(1)(2)C(3)D解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tantantan tantan tan.(2)原式.(3)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，sin()0，cos，sin 2cos2cos21.高考题型精练1(2015陕西)“sin cos”是“cos 20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析sin coscos 2cos2sin20；cos 20cossin / sin cos，故选A.2(2016课标全国丙)若tan ，则cos 2等于()A B C. D.答案D解析tan ，则cos 2cos2sin2.3若tan，且0，则等于()A B. C D.答案A解析由tan，得tan .又0，所以sin .故2sin .4已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf(lg)，则()Aab0 Bab0Cab1 Dab1答案C解析af(lg 5)sin2(lg 5)，bf(lg)sin2(lg)，则可得ab1.5已知sinsin ，则sin的值是()A B. C. D答案D解析sinsin sin coscossinsin sin cossin cos，故sinsin coscossin.6若(4tan 1)(14tan )17，则tan()等于()A. B. C4 D12答案C解析由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan )，tan()4.7(2015江苏)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_答案3解析tan 2，tan()，解得tan 3.8设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos_.答案解析f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos，当x2k(kZ)时，函数f(x)取到最大值，即2k时，函数f(x)取到最大值，所以cossin .9已知，且2sin2sin cos3cos20，则_.答案解析，且2sin2sin cos3cos20，(2sin 3cos )(sin cos)0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos，sin ，.10(2015四川)已知sin 2cos 0，则2sin coscos2的值是_答案1解析sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2.又2sin coscos2，原式1.11(2015广东)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解(1)tan3.(2)1.12已知函数f(x)cos2xsin xcosx，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解(1)fcos2sin cos2.(2)因为f(x)cos2xsin xcosxsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fsinsin.又因为sin ，且，所以cos，所以f.