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第21练基本量法破解等差、等比数列的法宝题型分析高考展望等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质体验高考1(2016课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100 B99C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.2(2015福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7C8 D9答案D解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故选D.3(2016北京)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案2n1解析由等比数列的性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.5(2016课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设等比数列an的公比为q，即解得a1a2an(3)(2)(n4)n(n7)，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值26，a1a2an的最大值为64.高考必会题型题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a311，S324.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn中的最小的项解(1)a3a12d，S33a1d3a13d，an5(n1)33n2.(2)bnn2 .当且仅当n，即n2时，bn取得最小值，数列bn中的最小的项为.点评等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素(2)解题思路：设基本量a1和公差d(公比q)；列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量变式训练1(1)等比数列an前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列an的公比为_(2)(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案(1)(2)B解析(1)设等比数列an的公比为q，则当q1时，S1a1,2S24a1,3S39a1，S1,2S2,3S3不成等差数列；当q1时，S1,2S2,3S3成等差数列，4S2S13S3，即4a13，即3q24q10，q1(舍)或q.(2)设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.题型二等差数列、等比数列的性质及应用例2(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_.答案(1)10(2)28解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.点评等差(比)数列的性质盘点类型等差数列等比数列项的性质2akamal(m，k，lN*，且m，k，l成等差数列)aamal(m，k，lN*，且m，k，l成等差数列)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)和的性质当n为奇数时：Snna当n为偶数时：q(公比)依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等差数列依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等比数列(k不为偶数且公比q1)变式训练2(1)an为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于()A11 B17 C19 D21(2)在正项等比数列an中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A3或1 B9或1C1 D9答案(1)C(2)D解析(1)Sn有最大值，d0，又1，a110a10，a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19为最小正值(2)设数列an的公比为q(q0)，依题意，a33a12a2，a1q23a12a1q，整理得：q22q30，解得q3或q1(舍)，q29.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知等比数列an中，首项a13，公比q1，且3(an2an)10an10(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan是首项为1，公差为2的等差数列，求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解(1)3(an2an)10an10，3(anq2an)10anq0，即3q210q30，公比q1，q3.又首项a13，数列an的通项公式为an3n.(2)bnan是首项为1，公差为2的等差数列，bnan12(n1)，即数列bn的通项公式为bn2n13n1.前n项和Sn(13323n1)13(2n1)(3n1)n2.点评(1)对数列an，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定an、Sn.(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法变式训练3(2015北京)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？解(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63，所以b6与数列an的第63项相等高考题型精练1设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()A2 B2 C. D答案D解析因为等差数列an的前n项和为Snna1d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)解得a1.2已知无穷等差数列an，前n项和Sn中，S6S8，则()A在数列an中a7最大B在数列an中，a3或a4最大C前三项之和S3必与前10项之和S10相等D当n8时，an0答案D解析由于S6S8，所以S7S6a70，S8S7a80，故C错误3已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90 C90 D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.4(2016哈尔滨六中期中)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：d0；使Sn0的最大n值为12；数列Sn中的最大项为S11；|a6|a7|，其中正确命题的个数是()A5 B4 C3 D1答案B解析S6S7S5，a70，a6a70，因此|a6|a7|；da7a60；S126(a6a7)0，而S1313a70的最大n值为12；由于a70，数列Sn中的最大项为S6，错，正确，故选B.5在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A125 B126 C127 D128答案C解析设正项等比数列an的公比为q(q0)，且a11，由a3，a2，a4成等差数列，得2a2a4a3，即2a1qa1q3a1q2.因为q0，所以q2q20.解得q1(舍)或q2.则S7127.6已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3C4 D5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得7 (nN*)，故当n1,2,3,5,11时，为整数即正整数n的个数是5.7(2016江苏)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.8已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是_答案20解析等差数列an的公差为d，则即Sn39n(2)n240n(n20)2400，当n20时，Sn取得最大值9公差不为0的等差数列an的部分项构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.答案22解析根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1a1(n1)(3a1)64a1，解得n22，即k422.10若数列an对任意的正整数n和m等式aanan2m都成立，则称数列an为m阶梯等比数列若an是3阶梯等比数列有a11，a42，则a10_.答案8解析由题意有，当an是3阶梯等比数列，aanan6，aa1a7，所以a74，由aa4a10，有a108.11(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由得bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前n项和为Sn.cnanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n)n2nn2.即数列cn的前n项和为n2.12在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差是d，a3a8(a2a7)2d6，d3.a2a72a17d23，解得a11.数列an的通项公式为an3n2.(2)数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1.Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故当q1时，Snn；当q1时，Sn.
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