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专题二 函数与导数 第四讲 导数的综合应用适考素能特训 文一、选择题12015陕西高考设f(x)xsinx，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)为奇函数又f(x)1cosx0，f(x)单调递增，选B.22016河南洛阳质检对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析当x1时，f(x)1时，f(x)0，此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)，故选A.32016河北石家庄模拟若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范围是(，442016河北衡水中学调研已知函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的两根为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，则即作出区域D，如图阴影部分，可得loga(14)1，所以1a3.52016江西八校联考已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3答案B解析x0时，f(x)0，0，即0.当x0时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0在(0，)上恒成立又0，F(x)0在(0，)上恒成立，F(x)在(0，)上无零点当x0时，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)在(，0)上为减函数当x0时，xf(x)0，F(x)0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点，故选B.二、填空题72015山西四校联考函数f(x)若方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_答案解析在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，如图，而函数ymx恒过定点，设过点与函数yln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)因为yln x的导函数y，所以图中yln x的切线l1的斜率为k，则，解得x0，所以k.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.82015河南郑州质检三设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为_答案(，2016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0即为F(x2014)F(2)0，即F(x2014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x20142，x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有_(1)ff(3)f(0)f(4)f0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可构造函数g(x)，则g(x)0，所以g(x)为偶函数且在上单调递增，所以有gg2f，ggf，gf.由函数单调性可知ggg，即ffg(0)f(0)，所以(3)正确三、解答题102016珠海模拟某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因为x0，所以P(x)0时，x12，当0x0，当x12时，P(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，当a0时，当0xa时，f(x)a时，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上为减函数，f(x)在(a，)上为增函数(2)由题意知xaln x10在x1，)恒成立，设g(x)xaln x1，x1，)，则g(x)1，x1，)，设h(x)2x22ax1ln x，则h(x)4x2a，当a0时，4x为增函数，所以h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a0时，h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a时，当x时，2a12x，由(1)知，当a1时，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x0，此时g(x)0，所以g(x)在上单调递减，在上，g(x)g(1)0，不符合题意综上所述a.122016济宁模拟已知函数f(x)exaxa(其中aR，e是自然对数的底数，e2.71828)(1)当ae时，求函数f(x)的极值；(2)当0a1时，求证f(x)0；(3)求证：对任意正整数n，都有e.解(1)当ae时，f(x)exexe，f(x)exe，当x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1处取得极小值f(1)e，函数f(x)无极大值(2)证明：由f(x)exaxa，得f(x)exa，当a0时，f(x)ex0恒成立，满足条件当0a1时，由f(x)0，得xln a，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，所以函数f(x)在xln a处取得极小值即为最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因为0a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以当0a1时，f(x)0；(3)证明：由(2)知，当a1时，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n1.所以e.典题例证2016全国卷设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，11，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.审题过程求出导函数f(x)然后确定函数f(x)的单调性利用(1)的结论证明不等式；构造新函数，通过研究新函数的单调性进行证明.(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln 1且xln xx1，即11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.模型归纳利用导数证明不等式的模型示意图如下：
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