高考数学三轮增分练 高考中档大题规范练（二）立体几何与空间向量 理

(二)立体几何与空间向量1(2016课标全国甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值(1)证明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)解如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.2(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)解连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FMOB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m，因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.3(2016上海)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧(1)求三棱锥CO1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小解(1)连接O1B1，则A1O1B1，O1A1B1为正三角形，OO1.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B，连接BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角)，BB1AA11.连接BC，BO，OC，BOC，BOC为正三角形，BCBO1，tanBB1C1，BB1C45，直线B1C与AA1所成的角的大小为45.4(2016四川)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.且PAAHA，于是CE平面PAH.又CE平面PCE，所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH .所以sinAPH.方法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAB90，且PA与CD所成的角为90，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)由得设x2，解得n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成的角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.5(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由(1)证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD，又PAPD，PAABA，PD平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO.PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，1,0)，C(2,0,0)则(1,1，1)，(0，1，1)，(2,0，1)设n(x0，y0,1)为平面PDC的一个法向量由得解得即n.设PB与平面PCD的夹角为.则sin |cosn，|.(3)解设在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，则存在0,1使得，因此点M(0,1，)，(1，)BM平面PCD，BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)0，解得，在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.