高考数学三模试卷 文（含解析）

2016年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1设集合A=x|x（x3）0，B=x|x20，则AB=（）A（0，2B（0，2）C（0，3）D2，3）2设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）ABC2D13设命题p：x0，xex0，则p为（）Ax0，xex0Bx00，x0ex00Cx0，xex0Dx00，x0ex004从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）ABCD5如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作数书九章，称为“秦九韶算法”执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A26B48C57D646一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A39B48C57D637已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A2B1CD28已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象与直线y=b（0bA）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A在0，3上是减函数B在3，0上是减函数C在0，上是减函数D在，0上是减函数9设函数f（x）=ex+ax在（0，+）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（1，+）C0，+）D（0，+）10正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A4B8C12D1611已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）0的解集是（）A（，22，+）B4，20，+）C（，42，+）D（，40，+）12已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是AOB的重心，则cosAFB为（）ABCD二、填空题13若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_14已知为锐角，cos=，则sin（）=_15在ABC中，A，B，C所对的边长分别是x+1，x，x1，且A=2C，则ABC的周长为_16已知圆C：（xa）2+y2=1（a0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若APB为锐角，则a的取值范围为_三、解答题17设Sn是数列an的前n项和，且Sn=2an1（1）证明：数列an是等比数列；（2）求数列nan的前n项和Tn18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，PCBD（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD平面ABCD，且DPB=90，求点B到平面PDC的距离19PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了环境空气质量标准，开始大力治理空气污染用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：g/m3）已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013201420152016年份代号（x）1234PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数，使|=恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y3=0（1）求a，b（2）证明：当x0，且x1时，f（x）选修4-1：几何证明选讲22如图，E为O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB（1）证明：AE2=ADAB（2）若AE=4，CB=6，求O的半径选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知曲线C的极坐标方程是sin28cos=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy在直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点P（2，0）（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求GAB的面积选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是m，n，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围2016年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合A=x|x（x3）0，B=x|x20，则AB=（）A（0，2B（0，2）C（0，3）D2，3）【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：0x3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x2，即B=（，2，则AB=（0，2，故选：A2设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）ABC2D1【考点】复数求模【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z=12i，则z=2i，则|z|=2，故选：C3设命题p：x0，xex0，则p为（）Ax0，xex0Bx00，x0ex00Cx0，xex0Dx00，x0ex00【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则p：x00，x0ex00，故选：D4从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C5如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作数书九章，称为“秦九韶算法”执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A26B48C57D64【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k5，退出循环，输出v的值为26故选：A6一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A39B48C57D63【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，剩余部分的表面积S=32+234+35=48，故选：B7已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A2B1CD2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象与直线y=b（0bA）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A在0，3上是减函数B在3，0上是减函数C在0，上是减函数D在，0上是减函数【考点】正弦函数的图象【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在3，6上单调递减，故f（x）在0，3上是增函数，在3，0上是减函数，从而得出结论【解答】解：函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象与直线y=b（0bA）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在3，6上单调递减，故f（x）在0，3上是增函数，在3，0上是减函数，故选：B9设函数f（x）=ex+ax在（0，+）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（1，+）C0，+）D（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】函数f（x）=ex+ax在区间（0，+）上单调递增函数f（x）=ex+a0在区间（0，+）上恒成立aexmin在区间（0，+）上成立【解答】解：f（x）=ex+a，函数f（x）=ex+ax在区间（0，+）上单调递增，函数f（x）=ex+a0在区间（0，+）上恒成立，aexmin在区间（0，+）上成立，在区间（0，+）上ex1，a1，故选：A10正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A4B8C12D16【考点】球的体积和表面积【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积【解答】解：设三棱柱ABCABC的上、下底面的中心分别为O、O，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO中点O1，OA=AB=1，OO1=AA=1O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4R2=8故选：B11已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）0的解集是（）A（，22，+）B4，20，+）C（，42，+）D（，40，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意可得g（x）关于点（2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（4）=f（2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）0的解集【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（4）=f（2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）0可得，x的符号和g（x）的符号相反，xg（x）0的解集为（，42，+），故选：C12已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是AOB的重心，则cosAFB为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（m，）、B（m，），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称设A（m，）、B（m，），则=，p=A（m， m），AF=m，cosAFB=，cosAFB=2cos2AFB1=故选：D二、填空题13若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算（）2，然后开方即可【解答】解：和是两个互相垂直的单位向量，（）2=5，|=故答案为：14已知为锐角，cos=，则sin（）=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解【解答】解：为锐角，cos=，sin=，sin（）=sincoscossin=故答案为：15在ABC中，A，B，C所对的边长分别是x+1，x，x1，且A=2C，则ABC的周长为15【考点】余弦定理【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长【解答】解：A，B，C所对的边长分别是x+1，x，x1，且A=2C，由正弦定理可得：，可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，=，整理即可解得x=5，ABC的周长为：（x+1）+x+（x1）=3x=15故答案为：1516已知圆C：（xa）2+y2=1（a0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若APB为锐角，则a的取值范围为（，+）【考点】圆的切线方程【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由APB为锐角，可得0APC，运用解直角三角形可得可得1PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC21，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=1，可得直线和圆相离由APB为锐角，可得0APC，即0tanAPC1，在RtAPC中，tanAPC=，可得1PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC21，当PCl时，PC取得最小值，且为，即有1，解得a故答案为：（，+）三、解答题17设Sn是数列an的前n项和，且Sn=2an1（1）证明：数列an是等比数列；（2）求数列nan的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由Sn=2an1可得当n=1时，a1=2a11，解得a1当n2时，an=SnSn1，化为：an=2an1利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可得：an=2n1nan=n2n1利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）证明：Sn=2an1当n=1时，a1=2a11，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=2an1（2an11），化为：an=2an1数列an是等比数列，首项为1，公比为2（2）解：由（1）可得：an=2n1nan=n2n1数列nan的前n项和Tn=1+22+322+n2n1，2Tn=2+222+（n1）2n1+n2n，Tn=1+2+22+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，Tn=（n1）2n+118在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，PCBD（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD平面ABCD，且DPB=90，求点B到平面PDC的距离【考点】点、线、面间的距离计算【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP利用菱形的性质可得ACBD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BDPO又O是BD的中点，可得PB=PD（2）底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，可得PBD与BCD都是等边三角形由平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCD=BD，POBD可得PO平面ABCD，因此POAC，又ACBD，可建立如图所示的空间直角坐标系设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP四边形ABCD是菱形，ACBD，又PCBD，且PCAC=C，BD平面PAC则BDPO又O是BD的中点，PB=PD（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，PBD与BCD都是等边三角形平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCD=BD，POBDPO平面ABCD，POAC，又ACBD，可建立如图所示的空间直角坐标系DPB=90，PB=PD，BD=2，PO=1，P（0，0，1），B（1，0，0），D（1，0，0），C（0，0），=（1，0，1），=（0，1），=（1，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取=，则点B到平面PDC的距离d=19PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了环境空气质量标准，开始大力治理空气污染用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：g/m3）已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013201420152016年份代号（x）1234PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =【考点】线性回归方程【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论【解答】解：（1）年份2013201420152016年份代号（x）1234PM2.5指数（y）90887064（2）=2.5， =78，（xi）（yi）=48， =5，=9.6， =102，y关于x的线性回归方程是： =9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =9.65+102=54，该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54g/m320已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数，使|=恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程（2）F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）当直线l的斜率不存在时，x1=1，不妨取y1=，可得=当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，0，利用根与系数的关系可得=， =（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出【解答】解：（1）=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3椭圆C的方程为=1（2）F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）当直线l的斜率不存在时，x1=1，不妨取y1=，|=3， =， =.=，则=当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，=64k44（4k2+3）（4k212）=122（1+k2）0，x1+x2=，x1x2=.=，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）. =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）x1x2+（x1+x2）+1=，则=综上所述：可得存在常数=，使|=恒成立21已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y3=0（1）求a，b（2）证明：当x0，且x1时，f（x）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f（1）=1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x2lnx）0，令g（x）=x2lnx，（x0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=+b，切点是（1，2），f（1）=b=2，f（x）=，f（1）=a=1，故a=1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x），（x2lnx）0，令g（x）=x2lnx，（x0），则g（x）=（x1）20，g（x）在（0，1）递增，在（1，+）递增，g（1）=0，g（x）0x1，g（x）00x1，x1时， g（x）0，0x1时， g（x）0，x0且x1时，（x2lnx）0，当x0，且x1时，f（x）选修4-1：几何证明选讲22如图，E为O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB（1）证明：AE2=ADAB（2）若AE=4，CB=6，求O的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明AC是O的切线，根据切割线定理可得：AE2=ADAB（2）根据切割线定理求出AD，即可求O的半径【解答】（1）证明：过点B作O的切线交AE的延长线于点C，CBO=CBE+OBE=90CE=CB，OE=OB，CEB=CBE，OEB=OBE，CEO=CEB+OEB=CBE+OBE=90，CEOE，OE是O的半径，AC是O的切线，根据切割线定理可得AE2=ADAB（2）解：CE=CB=6，AE=4，AC=10，AB=8AE2=ADAB，AE=4，42=AD8，AD=2，BD=82=6，O的半径为3选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知曲线C的极坐标方程是sin28cos=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy在直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点P（2，0）（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求GAB的面积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）sin28cos=0，化为2sin28cos=0，令，即可得出直角坐标方程直线l的参数方程为：（t为参数）（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，），分别化为：Q（0，2），G（2，0）kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）将参数方程代入曲线C的方程可得：t28t32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1t2|=点G到直线l的距离d即可得出SGAB=|BA|d【解答】解：（1）sin28cos=0，化为2sin28cos=0，直角坐标方程为：y2=8x直线l的参数方程为：（t为参数）（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，），分别化为：Q（0，2），G（2，0），kl=1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x2可得直线l的参数方程：（t为参数）将参数方程代入曲线C的方程可得：t28t32=0，=128+4320，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=32|AB|=|t1t2|=16点G到直线l的距离d=2SGAB=|BA|d=16选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是m，n，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）记g（x）=|x+3|x1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2，从而求取值范围【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|x1|+5，则g（x）=，故g（x）1，9，故f（x）1，3（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）23，故ac+bd，故ac+bd的取值范围为，