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三、压轴题专练(一)1.如图，F是椭圆1(ab0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BCBF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线xy30相切(1)求椭圆的方程；(2)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由解(1)由题意可知F(c,0)，e，bc，即B(0，c)，kBF，又BCBF，kBC，C(3c,0)，圆M的圆心坐标为(c,0)，半径为2c，由直线xy30与圆M相切可得2c，c1.椭圆的方程为1.(2)假设存在满足条件的点N(x0,0)由题意可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，NF为PNQ的内角平分线，kNPkNQ，即，(x11)(x2x0)(x21)(x1x0)x0.又3x24k2(x1)212.(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2.x04，存在满足条件的点N，点N的坐标为(4,0)2.设函数f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当m0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当m0时，f(x)，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增综上：当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，当m0时，F(x)x2x，x0，有唯一零点；当m0时，F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)0，F(4)ln 41时，0xm时，F(x)0；1x0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)m0，F(2m2)mln (2m2)0，所以F(x)有唯一零点当0m1时，0x1时，F(x)0；mx0，所以函数F(x)在(0，m)和(1，)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m0，而F(2m2)mln (2m2)0，d.d的最小值为，d的最大值为.d，即d的取值范围为.(2)|2xa|2a6，|2xa|62a，2a62xa62a，a3x3，不等式f(x)6的解集为x|6x4，解得a2.由得f(x)|2x2|4.|2x2|4(k21)x5，化简整理得|2x2|1(k21)x，令g(x)|2x2|1yg(x)的图象如图所示，要使不等式f(x)(k21)x5的解集非空，需k212或k211，k的取值范围是k|k或kb0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：yk(x2)，联立化为(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.22016河南六市一联已知函数f(x)aln xx，g(x)x2(1a)x(2a)ln x，其中aR.(1)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数F(x)f(x)g(x)的图象交x轴于A，B两点，AB中点的横坐标为x0，问：函数F(x)的图象在点(x0，F(x0)处的切线能否平行于x轴？解(1)g(x)2x(1a)，g(x)的定义域为x|x0，且g(x)在其定义域内为增函数，g(x)0在x0时恒成立，则2x2(1a)x(2a)0在x0时恒成立，a5在x0时恒成立而当x0时，2(x1)3，a2，)(2)设F(x)的图象在(x0，F(x0)处的切线平行于x轴，F(x)2ln xx2ax，F(x)2xa，不妨设A(m,0)，B(n,0)，0m0(t(0,1)，函数h(t)ln t在(0,1)上单调递增，因此h(t)h(1)0，也就是ln ，此式与矛盾F(x)的图象在点(x0，F(x0)处的切线不能平行于x轴3选做题(1)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(4cos3sin)m0(其中m为常数)若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；若m4，求直线l被曲线C截得的弦长(2)选修45：不等式选讲已知定义在R上的连续函数f(x)满足f(0)f(1)若f(x)ax2x，解不等式|f(x)|ax；若任意x1，x20,1，且x1x2时，有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.解(1)直线l的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x3ym0，曲线C的参数方程可化为普通方程：y24x，由可得y23ym0，因为直线l和曲线C恰好有一个公共点，所以94m0，所以m.当m4时，直线l：4x3y40恰好过抛物线的焦点F(1,0)，由可得4x217x40，设直线l与抛物线C的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，故直线l被抛物线C所截得的弦长为|AB|x1x222.(2)f(0)f(1)，即a10，即a1，所以不等式化为|x2x|x.a当x0时，不等式化为x2xx，所以x0；b当0x1时，不等式化为x2xx，所以0x1时，不等式化为x2xx1，则当x2x1时，|f(x1)f(x2)|时，则x1，且1x2，那么|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|f(1)f(x2)|x101x21(x2x1)0)(1)若a1，证明：yf(x)在R上单调递减；(2)当a1时，讨论f(x)零点的个数解(1)证明：当x1时，f(x)10，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0；当x1时，f(x)ex110.所以yf(x)在R上单调递减(2)若xa，则f(x)aa1)，所以此时f(x)单调递减，令g(a)f(a)ln aa21，则g(a)2a0，所以f(a)g(a)g(1)0，(另解：f(a)ln aa21ln aa10，事实上，令h(a)ln aa1，h(a)10，h(a)h(1)0)即f(x)f(a)0，故f(x)在a，)上无零点当x2时，f(x)0，f(x)单调递增，又f(0)e10，f0，所以此时f(x)在上有一个零点当a2时，f(x)ex1，此时f(x)在(，2)上没有零点当1a2时，令f(x0)0，解得x0ln (2a)110，所以此时f(x)没有零点综上，当12时，f(x)有一个零点3选做题(1)选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为2sin，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.求曲线C的直角坐标方程；求的值(2)选修45：不等式选讲已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2mxn|3x26x9|的解集为R.求m，n的值；若a，b，cR，且abcmn，求证：.解(1)利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程2sin化为22sin2cos，普通方程是x2y22y2x，即(x1)2(y1)22.直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程 (x1)2(y1)22中，得t2t10，.(2)由于解集为R，那么x3，x1都满足不等式，即有即解得m2，n3，经验证当m2，n3时，不等式的解集是R.证明：abc1，ab2，bc2，ca2，()2abc2223(abc)3，故(当且仅当abc时取等号)(四)1.2016石家庄模拟已知抛物线C：y22px(p0)过点M(m,2)，其焦点为F，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x1)2y21相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点解(1)抛物线C的准线方程为x，|MF|m2，又42pm，即42p，p24p40，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设点E(0，t)(t0)，由已知切线不为y轴，设EA：ykxt，联立消去y，可得k2x2(2kt4)xt20，直线EA与抛物线C相切，(2kt4)24k2t20，即kt1，代入 可得x22xt20，xt2，即A(t2,2t)设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：ytxt对称，则解得即B.解法一：直线AB的斜率为kAB(t1)，直线AB的方程为y(xt2)2t，整理得y(x1)，直线AB恒过定点F(1,0)，当t1时，A(1，2)，B(1，1)，此时直线AB为x1，过点F(1,0)综上，直线AB恒过定点F(1,0)解法二：直线AF的斜率为kAF(t1)，直线BF的斜率为kBF(t1)，kAFkBF，即A，B，F三点共线当t1时，A(1，2)，B(1，1)，此时A，B，F三点共线直线AB过定点F(1,0)22016贵州测试设nN*，函数f(x)，函数g(x)(x0)(1)当n1时，求函数yf(x)的零点个数；(2)若函数yf(x)与函数yg(x)的图象分别位于直线y1的两侧，求n的取值集合A；(3)对于nA，x1，x2(0，)，求|f(x1)g(x2)|的最小值解(1)当n1时，f(x)，f(x)(x0)由f(x)0得0xe；由f(x)e.所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，因为f(e)0，fe0恒成立，所以函数f(x)在(e，)上不存在零点综上得函数f(x)在(0，)上存在唯一一个零点(2)对函数f(x)求导，得f(x)(x0)，由f(x)0，得0xe；由f(x)e；.所以函数f(x)在(0，e；)上单调递增，在(e；，)上单调递减，则当xe；时，函数f(x)有最大值f(x)maxf(e；).对函数g(x)(x0)求导，得g(x)(x0)，由g(x)0，得xn；由g(x)0，得0xn.所以函数g(x)在(0，n)上单调递减，在(n，)上单调递增，则当xn时，函数g(x)有最小值g(x)ming(n)n.因为nN*，函数f(x)的最大值f(e)0)在直线y1的上方，所以g(x)ming(n)n1，解得n0，所以|f(x1)g(x2)|的最小值为.3选做题(1)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为24sin3.求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值(2)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|x2a|.当a1时，求不等式f(x)2的解集；若对任意xR，不等式f(x)a23a3恒成立，求a的取值范围解(1)x22(sincos)2sin21y，所以C1的普通方程为yx2.将2x2y2，siny代入C2的方程得x2y24y3，所以C2的直角坐标方程为x2y24y30.将x2y24y30变形为x2(y2)21，它的圆心为C(0,2)设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0x，从而|PC|2(x00)2(y02)2x(x2)2x3x42，所以当x时，|PC|min，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为1.(2)当a1时，f(x)|x1|x2|.当x1时，f(x)1x2x32x，此时由f(x)2得x；当12无解；当x2时，f(x)x1x22x3，此时由f(x)2得x.综上可得不等式f(x)2的解集为.因为f(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|a23a3.当a0时，有aa23a3，即a24a30，解得2a2，此时有0a2.当a0时，有aa23a3，即a22a30，解得1a3，此时有1a0.综上可知a的取值范围是1,2
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