高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列练习 文

第1讲等差数列与等比数列1(2016课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.2(2016北京)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.3(2016江苏)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.4(2016课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设等比数列an的公比为q，解得a1a2an(3)(2)(n4)，nN*，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值2664，a1a2an的最大值为64.1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一等差数列、等比数列的运算1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)3性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.例1(1)已知数列an中，a3，a7，且是等差数列，则a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1a79，a42，则S8等于()A15(1) B15C15 D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)设等差数列的公差为d，则4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.(2)由a42，得a1a7a8，故a1，a7是方程x29x80的两根，所以或因为等比数列an的各项都为正数，所以公比q0.当时q，所以S815(1)；当时，q，所以S815.故选D.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量跟踪演练1(1)已知Sn是非零等差数列an的前n项和，若a79a3，则等于()A. B9C5 D.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，满足an0，q1，且a3a520，a2a664，则S6等于()A63 B48C42 D36答案(1)B(2)A解析(1)因为a79a3，所以a7a310a3，所以9.故选B.(2)在等比数列an中，a2a664，a3a5a2a664.又a3a520，a3和a5为方程x220x640的两根an0，q1，a3a5，a516，a34.q2，a11，S663.故选A.热点二等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)例2已知数列an的前n项和为Sn (nN*)，且满足anSn2n1.(1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求证：.证明(1)anSn2n1，令n1，得2a13，a1.anSn2n1，an1Sn12(n1)1 (n2，nN*)两式相减，得2anan12，整理anan11，an2(an12)(n2)，数列an2是首项为a12，公比为的等比数列，an2n，an2.(2)，()()()1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，已知nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解(1)a12，且a1，a2，a38成等差数列，2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，q22q30，q3或1，而q1，q3，an23n1.a1b1a2b2anbn，a1b1a2b2an1bn1，两式相减得anbn2n3n1 (n2)an23n1，bnn(n2)，令n1，可求得b11，bnn.(2)数列an是首项为2，公比为3的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，Sn1()n0，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.2已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b12等于()A1 B2C4 D8押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点答案C解析设等差数列an的公差为d，因为a42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因为数列bn是等比数列，所以b2b12b4.3已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得 4a1，则的最小值为()A. B.C. D.押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)()(5)(2 5)，当且仅当，mn6，即n2m4时取得最小值.4定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A BC D押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉答案C解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故选C.A组专题通关1在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为()A20 B22C24 D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120，解得a824，a8a122a10，2a10a12a824.2已知在等差数列an中，a1120，d4，若Snan (n2)，则n的最小值为()A60 B62C70 D72答案B解析由题意可知，Snna1d2n2122n，ana1(n1)d1244n，由Snan得2n2126n124，解得n1或n62，又n2，n62，故选B.3在等比数列an中，a14，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn2也是等比数列，则q等于()A2 B2C3 D3答案C解析由题意可得q1，由数列Sn2是等比数列，可得S12，S22，S32成等比数列，所以(S22)2(S12)(S32)，所以(64q)224(1qq2)12，q3(q0舍去)故选C.4设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S190，S200，得a1a190，则a100；由S200，得a1a200，则a10a110，a110，a10a110，a10a110，d0，a110，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.9已知数列an是等比数列，并且a1，a21，a3是公差为3的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bna2n，记Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn.(1)解设等比数列an的公比为q，因为a1，a21，a3是公差为3的等差数列，所以即解得a18，q.所以ana1qn18()n124n.(2)证明因为，所以数列bn是以b1a24为首项，为公比的等比数列所以Sn1()n.10(2015四川)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000，因为295121 0001 024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10.B组能力提高11已知数列an满足a11，且anan1()n (n2，且nN*)，则数列an的通项公式为()Aan BanCann2 Dan(n2)3n答案B解析因为anan1()n (n2，且nN*)1，令bn，则数列bn是首项为b13a13，公差为1的等差数列，所以bnb1(n1)13n1n2，所以an.12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1 (nN*)，则b2 015_.答案解析anbn1，且bn1，bn1，a1，且a1b11，b1，bn1，1.又b1，2.数列是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，bn.则b2 015.14已知非零数列an满足a11，anan1an2an1 (nN*)(1)求证：数列1是等比数列；(2)若关于n的不等式m3有解，求整数m的最小值；(3)在数列1(1)n中，是否存在首项、第r项、第s项(1rs6)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r，s；若不存在，请说明理由(1)证明由anan1an2an1，得1，即12(1)，数列1是首项为2，公比为2的等比数列(2)解由(1)可得12n，故原不等式可化为0，f(n)单调递增，则f(n)minf(1)，于是，故整数m的最小值为4.(3)解由(1)得an，设bn1(1)n2n(1)n，要使得b1，br，bs成等差数列，即b1bs2br，即32s(1)s2r12(1)r，得2s2r1(1)s2(1)r3.sr1，(1)s2(1)r30，故s为偶数，r为奇数，s4，r3或s6，r5.