高考大题标准练（三） 理 新人教版

高考大题标准练(三)满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!1.数列的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)设bn=,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=2an-a1,当n2时,Sn-1=2an-1-a1,所以an=2an-2an-1,化为an=2an-1.由a1,a2+1,a3成等差数列.所以2(a2+1)=a1+a3,所以2(2a1+1)=a1+4a1,解得a1=2.所以数列是以2为首项,公比为2的等比数列.所以an=22n-1=2n.(2)an+1=2n+1,Sn=2n+1-2,Sn+1=2n+2-2.bn=.所以数列的前n项和Tn=+=.2.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2.(1)求证：BC平面PBD.(2)在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)平面PCD底面ABCD，PDCD，平面PCD平面ABCD=CD，所以PD平面ABCD，所以PDAD.如图，以D为原点建立空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1).=(1，1，0)，=(-1，1，0)，所以=0，BCDB，又由PD平面ABCD，可得PDBC，因为PDBD=D，所以BC平面PBD.(2)平面PBD的法向量为=(-1，1，0)，=(0，2，-1)，设=，(0，1)，所以Q(0，2，1-)，设平面QBD的法向量为n=(a，b，c)，=(1，1，0)，=(0，2，1-)，由n=0，n=0，得令b=1，所以n=(-1，1，)，所以cos45=，注意到(0，1)，得=-1.所以在线段PC上存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45，此时=-1.3.根据国家环境空气质量标准规定：居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5(微克/立方米)频数(天)频率第一组(0，1540.1第二组(15，30120.3第三组(30，4580.2第四组(45，6080.2第五组(60，7540.1第六组(75，90)40.1(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.(3)将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X).【解析】(1)众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5(微克/立方米).因为40.535，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=.随机变量X的可能取值为0，1，2.且XB.所以P(X=k)=(k=0，1，2)，所以变量X的分布列为X012PE(X)=0+1+2=1.8(天)，或E(X)=np=2=1.8(天)，D(X)=0.18.4.抛物线C的方程为y=ax2(a0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+k1=0(0且-1).(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程.(2)设直线AB上一点M,满足=,证明线段PM的中点在y轴上.【解析】(1)由抛物线C的方程y=ax2(a0时，f(x)0，则当x(-，lna)时，f(x)=ex-a0；所以，f(x)在(-，lna)上单调递减，在(lna，+)上单调递增.(2)由于a=1，f(x)0，所以(k-x)(ex-1)0，所以ex-10，所以k+x.令g(x)=+x，所以k0，所以h(x)在(0，+)上单调递增，且h(1)0，所以h(x)在(0，+)上存在唯一零点，设此零点为x0，则x0(1，2)，当x(0，x0)时，g(x)0，所以g(x)min=g(x0)=+x0，由g(x0)=0=x0+2，所以g(x0)=x0+1(2，3)，因为kg(x0)，且k为整数，所以k的最大值为2.