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第4练用好基本不等式题型分析高考展望基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查题目难度为中等偏上应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误体验高考1(2015四川)如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16 B18 C25 D.答案B解析当m2时，f(x)在，2上单调递减，0n8，mn2n16.m2时，抛物线的对称轴为x.据题意得，当m2时，2，即2mn12，6，mn18，由2mn且2mn12得m3，n6.当m2时，抛物线开口向下，据题意得，即m2n18，9，mn，由2nm且m2n18得m92，故应舍去要使得mn取得最大值，应有m2n18(m2，n8)mn(182n)n(1828)816，综上所述，mn的最大值为18，故选B.2(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.选C.3(2015天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值答案4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.4(2016江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_答案8解析在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全为锐角，两边同时除以cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又tan Atan(BC).tan A(tan Btan C1)tan Btan C.则tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2，2，tan Atan Btan C8.5(2016上海)设a0，b0.若关于x，y的方程组无解，则ab的取值范围是_答案(2，)解析由已知，ab1，且ab，ab22.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错2结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式常见的转化方法有：(1)xxaa(xa)(2)若1，则mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均为正数)例1(1)已知正常数a，b满足3，则(a1)(b2)的最小值是_答案解析由3，得b2a3ab，(a1)(b2)2abab24ab2，又a0，b0，2，ab(当且仅当b2a时取等号)，(a1)(b2)的最小值为42.(2)求函数y(x1)的最小值解设x1t，则xt1(t0)，yt52 59.当且仅当t，即t2，且此时x1时，取等号，ymin9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值等号能够取得变式训练1已知x0，y0，且2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，当且仅当2x5y时等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时等号成立由解得的最小值为.题型二基本不等式的综合应用例2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析平均每件产品的费用为y2 20，当且仅当，即x80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 2002 20xy120 20xy120 20S，则S61600，即(10)(16)0，故010，从而0S100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x90y且xy100，解得x15，即铁栅的长应设计为15米点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备变式训练2(1)已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y22x4y0截得的弦长为2，则ab的最大值是_答案解析圆的方程变形为(x1)2(y2)25，由已知可得直线axby60过圆心O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2，ab(当且仅当a2b时等号成立)，故ab的最大值为.(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解当0x80时，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250.当x80时，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)当0x80时，L(x)x240x250.对称轴为x60，即当x60时，L(x)最大950(万元)当x80时，L(x)1 200(x)1 2002 1 000(万元)，当且仅当x100时，L(x)最大1 000(万元)，综上所述，当x100时，年获利最大高考题型精练1已知x1，y1，且ln x，ln y成等比数列，则xy()A有最大值e B有最大值C有最小值e D有最小值答案C解析x1，y1，且ln x，ln y成等比数列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.2若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B.C5 D6答案C解析方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y42 5，当且仅当y时等号成立，3x4y的最小值是5.3若正数a，b满足1，则的最小值是()A1 B6C9 D16答案B解析正数a，b满足1，b0，解得a1.同理可得b1，9(a1)2 6，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，最小值为6.故选B.4已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A4 B16 C9 D3答案B解析因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.5已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m等于()A2 B2 C3 D4答案D解析由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(当且仅当时取等号)(1m2)3，解得m4，故选D.6已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2答案A解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)，因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.7已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案6解析由已知得x.方法一(消元法)x0，y0，0y3，x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.方法二x0，y0,9(x3y)xyx(3y)2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.8已知三个正数a，b，c成等比数列，则的最小值为_答案解析由条件可知a0，b0，c0，且b2ac，即b，故2，令t，则t2，所以yt在2，)上单调递增，故其最小值为2.9已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)，又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)，综上可知4x24y212.10当x(0,1)时，不等式m恒成立，则m的最大值为_答案9解析方法一(函数法)由已知不等式可得m，设f(x)，x(0,1)令t3x1，则x，t(1,4)，则函数f(x)可转化为g(t)，因为t(1,4)，所以5t4，0(t)51，9，即g(t)9，)，故m的最大值为9.方法二(基本不等式法)由已知不等式可得m，因为x(0,1)，则1x(0,1)，设y1x(0,1)，显然xy1.故5()529，当且仅当，即y，x时等号成立所以要使不等式m恒成立，m的最大值为9.11运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(小时)，y214，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当，即x18时等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元12某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解(1)设每件定价为t元，依题意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解，x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2，当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
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