高二数学下学期学业水平考试试题 文

2015-2016学年广东省揭阳市高二（下）学业水平测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数z=5（1+i）i，则z的共轭复数为（）A5+5iB55iC55iD5+5i2已知集合A=x|y=，B=x|12x13，则AB=（）A0，1B1，2C0，2D1，3命题“x00，使得x020”的否定是（）Ax0，x20Bx0，x20Cx00，x020Dx00，x0204cos40sin80+sin40sin10=（）ABCcos50D5执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）ABC2D26已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x7函数f（x）=log2x+x2的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）8已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）A16B8C4D29已知直线kxy+1k=0恒过定点A，且点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则mn的最大值为（）ABC2D410利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a29a+20成立的概率是（）ABCD11过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A2B4C6D812定义在区间（0，）上的函数y=2cosx的图象与y=3tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴，垂足为P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）ABCD二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确的答案填在答题卡相应的横线上13若点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，则a=14在ABC中， =， =，若点D满足=，则用、表示的结果为=15若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为16在ABC中，已知角A、B、C所对的边为a、b、c，若ccosB=12，bsinC=5，则c=三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=（n2+3n）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn18某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数带表个位）如图1示（1）以10为组距，图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在60，80）之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，求所抽取的2份试卷中至少有一份分数在60，70）概率19如图，在四棱锥P一ABCD中，PC=AD=CD=AB=2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥N一AMC的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）过点M（1，），且左焦点为F1（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线x=a2于点D，E试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x0，1）时，判断f（x）与f（x）的大小请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2（1）求证：CEAD；（2）求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合曲线C1：cos（）=，曲线C2：（t为参数）（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（0，02）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数z=5（1+i）i，则z的共轭复数为（）A5+5iB55iC55iD5+5i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，则z的共轭复数可求【解答】解：由复数z=5（1+i）i=5+5i，则z的共轭复数为：55i故选：B2已知集合A=x|y=，B=x|12x13，则AB=（）A0，1B1，2C0，2D1，【考点】交集及其运算【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中y=，得到x0，即A=0，+），由B中不等式解得：0x2，即B=0，2，则AB=0，2，故选：C3命题“x00，使得x020”的否定是（）Ax0，x20Bx0，x20Cx00，x020Dx00，x020【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x00，使得x020”的否定是x0，x20故选：A4cos40sin80+sin40sin10=（）ABCcos50D【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用诱导公式、两角和差的余弦公式，求得所给式子的值【解答】解：cos40sin80+sin40sin10=cos40cos10+sin40sin10=cos（4010）=，故选：D5执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）ABC2D2【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：x=，满足条件x2，y=log2=2输出y=2故选：D6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到【解答】解：由双曲线的离心率为，则e=，即c=a，b=a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故选D7函数f（x）=log2x+x2的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】二分法求方程的近似解【分析】由题意知函数f（x）=log2x+x2在（0，+）上连续，再由函数的零点的判定定理求解【解答】解：函数f（x）=log2x+x2在（0，+）上连续，f（1）=0+120；f（2）=1+220；故函数f（x）=log2x+x2的零点所在的区间是（1，2）；故选B8已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）A16B8C4D2【考点】球的体积和表面积【分析】根据三视图均为边长为2的正方形，可得几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，即可求出球的最大表面积【解答】解：三视图均为边长为2的正方形，几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是412=4故选：C9已知直线kxy+1k=0恒过定点A，且点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则mn的最大值为（）ABC2D4【考点】恒过定点的直线【分析】把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得mn的最大值【解答】解：整理直线方程得y=k（x1）+1，点A的坐标为（1，1），点A在直线mx+ny1=0（m，n0）上，m+n1=0，即m+n=1，m0，n0，m+n2，m=n时取等号，mn，即mn的最大值为，故选：B10利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a29a+20成立的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据不等式的解法，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由9a29a+20，得a，区间长度为=，在区间（0，1）上产生随机数a，区间长度为1则计算机在区间（0，1）上产生随机数a，使不等式9a29a+20成立的概率是，故选：A11过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A2B4C6D8【考点】抛物线的应用；抛物线的定义【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8故选D12定义在区间（0，）上的函数y=2cosx的图象与y=3tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴，垂足为P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的图象【分析】由条件求得sinx=，可得线段P1P2=sinx 的值【解答】解：由2cosx=3tanx，x（0，），可得2cos2x=3sinx，即 22sin2x=3sinx，即 2sin2x+3sinx2=0，求得sinx=，故线段P1P2=sinx=，故选：D二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确的答案填在答题卡相应的横线上13若点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，则a=2【考点】反函数【分析】点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，可得点（1，2）在y=ax（a0，且al）的图象上，即可得出【解答】解：点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，点（1，2）在y=ax（a0，且al）的图象上，2=a1，解得a=2故答案为：214在ABC中， =， =，若点D满足=，则用、表示的结果为=+【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由=， =， =，代入化简即可得出【解答】解：=， =， =，=+=+=+故答案为： +15若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为0【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0故答案为：016在ABC中，已知角A、B、C所对的边为a、b、c，若ccosB=12，bsinC=5，则c=13【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解：bsinC=5，又=，csinB=5，sinB=，由ccosB=12，cosB=，+=sin2B+cos2B=1，解得c=13故答案为：13三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=（n2+3n）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）直接由数列的前n项和分类求解数列的通项公式（2）=，利用裂项可求和【解答】解：（1）当n2时，an=SnSn1=（n2+3n） （n1）2+3（n1）=n+1当n=1时，a1=s1=2，显然上式成立，an=n+1，（2）=，Tn=（）+（）+（）=18某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数带表个位）如图1示（1）以10为组距，图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在60，80）之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，求所抽取的2份试卷中至少有一份分数在60，70）概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（1）频率分布直方图中，求出分数在各分数段内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）由题意，各分数段的人数分别为1，2，3，1，1，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及所抽取的2份试卷中至少有一份分数在60，70）的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可【解答】解：（1）分数在50，60）内的频率为=0.125；分数在60，70）内的频率为0.25；分数在70，80）内的频率为0.375；分数在80，90）内的频率为0.125；分数在90，100）内的频率为0.125频率分布直方图如图所示；（2）由题意，各分数段的人数分别为1，2，3，1，1，在60，80）之间的人数为5，任取2份有C52=10种情况，所抽取的2份试卷中至少有一份分数在60，70）的基本事件有C21C31+C22=7种情况，所以所抽取的2份试卷中至少有一份分数在60，70）概率为0.719如图，在四棱锥P一ABCD中，PC=AD=CD=AB=2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥N一AMC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由勾股定理AC2+BC2=AB2证明BCAC，由线面垂直PC平面ABCD证明BCPC，即可证明BC平面PAC；（2）点N是PB的中点，由线线平行得出M、N、C、D四点共面，点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；再由BC平面PAC，N为PB的中点，求出点N到平面PAC的距离d，求出SACM，即可计算V三棱锥NAMC【解答】解：（1）证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，AC=2，BC=2AC2+BC2=AB2，即BCAC；PC平面ABCD，BC平面ABCD，BCPC；又ACPC=C，BC平面PAC；（2）点N是PB的中点，理由如下；点M为PA的中点，点N为PB的中点，MNAB，又ABDC，MNCD，M、N、C、D四点共面，即点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；BC平面PAC，N为PB的中点，点N到平面PAC的距离d=BC=；如图所示，SACM=SPAC=PCAC=22=V三棱锥NAMC=SAMCd=20已知椭圆C： +=1（ab0）过点M（1，），且左焦点为F1（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线x=a2于点D，E试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）利用椭圆的定义，求出a，根据左焦点为F1（1，0），得出c，求出b，即可椭圆C的方程；（2）由（1）可知A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则直线PA的方程为y=（x+2），直线PB的方程为y=（x2）将x=2代入，可得yD=，yE=，即求出D，E两点纵坐标的乘积是定值9【解答】解：（1）由椭圆的定义可得2a=+=4，a=2，c=1，b=，椭圆C的方程是；（2）由（1）可知A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则直线PA的方程为y=（x+2），直线PB的方程为y=（x2）将x=2代入，可得yD=，yE=，yDyE=，P（x0，y0）在椭圆上，=（4），yDyE=9D，E两点纵坐标的乘积是定值921已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x0，1）时，判断f（x）与f（x）的大小【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）作差，构造函数g（x），通过讨论g（x）的单调性，求出g（x）0，从而比较出其大小即可【解答】解：（1）f（x）=，当x0时，f（x）0，当x0且x1时，f（x）0，f（x）在（，1），（1，0）递减，在（0，+）递增；（2）f（x）f（x）=，设g（x）=（1x）ex（1+x）ex=（1x）ex，则g（x）=，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）在0，1）递减，g（x）g（0）=0，f（x）f（x）0，即f（x）f（x），（当且仅当x=0时“=”成立）请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2（1）求证：CEAD；（2）求AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）利用AB是圆O的直径，可得ACB=90即ACBD又已知BC=CD，可得ABD是等腰三角形，可得D=B再利用弦切角定理可得ACE=B，得到AEC=ACB=90，即可得出结论；（2）由（1）可知AECACB，即可求AC的长【解答】（1）证明：AB是圆O的直径，ACB=90即ACBD又BC=CD，AB=AD，D=ABC，EAC=BACCE与O相切于点C，ACE=ABCAEC=ACB=90CEAD；（2）解：由（1）可知AECACB，=，AC2=AEAB=（62）6=24，AC=2选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合曲线C1：cos（）=，曲线C2：（t为参数）（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（0，02）【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）根据两角差的余弦公式将cos（）展开，求得cos+sin=2，由，代入即可求得曲线C1的直角坐标方程，将曲线C2消去t可得到到曲线C2的普通方程；（2）将直线方程与圆的方程联立解得交点坐标，并将其转化成极坐标的形式【解答】解：（1）cos（）=cos+sin=2，将代入即可得到曲线C1的直角坐标方程：x+y2=0，将消去参数t，得到曲线C2的普通方程为（x4）2+（y5）2=25；（2）由，联立解得：或，将转化成极坐标（，），将转化成极坐标（2，），C1与C2交点的极坐标（，），（2，）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，|2x+1|2|x|2a23a 恒成立，利用绝对值三角不等式可得 2a23a1，由此解得a的范围【解答】解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|x|20，可得，或，或解求得x3；解求得x，解求得 x1综上可得，原不等式的解集为x|x3，或 x1（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，则|2x+1|2|x|2a23a 恒成立又|2x+1|2|x|2x+12x|=1，2a23a1，解得a1，即实数a的取值范围为，1