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热点专题突破系列(五)圆锥曲线的综合问题,考点1圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程.(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.,【解题视点】(1)依据已知条件,根据圆的几何性质找等式即可得出轨迹方程.(2)x轴是PBQ的角平分线,说明直线BQ的斜率与直线BP的斜率互为相反数.,【规范解答】(1)A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E，由几何图象知CA2=CM2=ME2+EC2(x4)2+y2=42+x2y2=8x.,(2)设直线l的方程为y=kx+b,联立得k2x2+2kbx+b2=8x,k2x2(82kb)x+b2=0(其中0),设P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b)，,若x轴是PBQ的角平分线，则即k=-b,故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).,【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,【变式训练】如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程.(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.,【解析】方法一：(1)依题意，|OB|=BOy=30,设B(x,y)，则x=|OB|sin30=y=|OB|cos30=12.因为点在x2=2py上，所以解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.,(2)由(1)知设P(x0,y0),则x00,且l的方程为所以,设M(0,y1),令(x00)的x0,y0恒成立，由得即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足(x00)的y0恒成立，解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).,方法二：(1)同方法一.(2)由(1)知设P(x0,y0),则x00,且l的方程为,取x0=2，此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此时以PQ为直径的圆为交y轴于M3(0,1)或,故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1).以下证明点M(0，1)就是所要求的点.因为故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).,【加固训练】过抛物线x2=4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线相交于点P(x0,y0)，(1)求y0.(2)求证：直线AB恒过定点.(3)设(2)中直线AB恒过定点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.,【解析】(1)设由x2=4y，得:因为所以PAPB，所以x1x2=-4.直线PA的方程是：同理，直线PB的方程是:由得：,(2)由(1)可得直线AB的方程为令x=0，可得因为所以y=1.所以直线AB恒过点(0，1).,考点2圆锥曲线中的定值问题【典例2】(2013江西高考)椭圆C:(ab0)的离心率a+b=3.(1)求椭圆C的方程.(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.,【解题视点】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件即可求解.(2)可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P,M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示.,【规范解答】(1)因为又由a2=b2+c2得代入a+b=3，得a=2,b=1.故椭圆C的方程为,(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为将代入直线AD的方程为：联立解得,即所以点所以MN的斜率为,方法二：设P(x0,y0)(x00,2)，则直线BP的方程为令y=0，由于y01，可得,所以MN的斜率为,【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.引进变量法：其解题流程为,【变式训练】已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且(0)过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：为定值.(2)设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值,【解析】(1)由已知条件，得F(0,1)，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由即得(x1,1y1)(x2，y21)将式两边平方并把解式得抛物线方程为,求导得yx.所以过抛物线上A，B两点的切线方程分别是即解出两条切线的交点M的坐标为所以为定值，其值为0.,(2)由(1)知在ABM中，FMAB，因而,因为|AF|，|BF|分别等于A，B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y22且当1时，S取得最小值4.,【加固训练】(2014宜宾模拟)设F1，F2分别为椭圆C：(ab0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率.(2)若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M，N外的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，求证：kPMkPN为定值.,【解析】(1)根据已知条件：2a=4，即a=2，所以椭圆方程为又为椭圆C上一点，则解得b2=3,所以椭圆C的方程为所以所以椭圆C的离心率,(2)因为M，N是椭圆上关于原点对称的点，设M(x0,y0)，则N(-x0,-y0)，设P点坐标为(x,y)，则即,考点3圆锥曲线中的最值与取值范围问题【典例3】(1)(2014丽水模拟)已知抛物线C的方程为y2=-8x，设过点N(2，0)的直线l的斜率为k，且与抛物线C相交于点S，T，若S，T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，则Q点横坐标的取值范围为_.,(2)(2013浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点F(0,1).求抛物线C的方程.过F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO，BO分别交直线l：y=x-2于M，N两点，求|MN|的最小值.,【解题视点】(1)直线方程与抛物线方程联立，由直线与抛物线相交，利用判别式，可求k的范围，然后再求点Q的横坐标，进而求范围.(2)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程；可以先设出A，B两点的坐标(设而不求)，设出直线的方程，由已知条件把|MN|表示出来，进行求解.,【规范解答】(1)设S(x1,y1)，T(x2,y2)，由题意得ST的方程为y=k(x-2)(显然k0)，与y2=-8x联立消元得ky2+8y+16k=0，则有因为直线l交抛物线C于两点，所以=64-64k20，再由y10,y20，则故-10)的一个焦点为F(0，)，与两坐标轴正半轴分别交于A,B两点(如图),向量与向量m=(1，)共线.(1)求椭圆的方程.(2)若斜率为k的直线过点C(0,2),且与椭圆交于P,Q两点,求POC与QOC面积之比的取值范围.,【解析】(1)由向量与向量m=(1，)共线，可得又a2b2=c2=(2)2，所以b2=8，a2=16.所以椭圆方程为(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x10.PQ方程为y=kx2,代入椭圆方程并消去y,得(2+k2)x2+4kx12=0,【加固训练】已知曲线C：y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程.(2)若曲线G：与D有公共点，试求a的最小值.,【解析】(1)联立y=x2与y=x+2得xA=-1，xB=2，则AB中点设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则又点P在曲线C上，所以化简可得又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则所以中点M的轨迹方程为,(2)曲线G：即圆:由图可知，当与D有公共点；当a0时，要使曲线G：与D有公共点，只需圆心E到直线l:x-y+2=0的距离,
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