高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学业分层测评 苏教版

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学业分层测评 苏教版选修2-3 (建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有_种【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种故有CA300种【答案】3002将4名教师分配到3所任教，每所至少1名教师，则不同的分配方案共有_种【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所，共有CA36种分配方案【答案】363在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有CA36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A24种故共有60种获奖情况【答案】604某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有CAA种方案由分类计数原理得共有ACAA120(种)方案【答案】120种5由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共_个. 【导学号：29440020】【解析】分两类：若1与3相邻，有ACAA72(个)，若1与3不相邻，有AA36(个)故共有7236108个【答案】1086甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有CA种不同的站法因此不同的站法种数是ACA336.【答案】3367某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有_种【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案AAA192种；(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有AAA192种；(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4AAA192种；若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4AAAA432种，所有共有1921921924321 008种【答案】1 0088若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_【解析】由题意知中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；(1)若正确，即a1，则都错误，即b1，c2，d4.其中a1与b1矛盾，显然此种情况不存在(2)若正确，即b1，则都错误，即a1，c2，d4，则当b2时，有a3，c1；当b3时，有a2；c1此时有2种有序数组(3)若正确，即c2，则都错误，即a1，b1，d4，则a3，即此种情况有1种有序数组(4)若正确，即d4，则都错误，即a1，b1，c2，则当d2时，有a3，c4或a4，c3，有2种有序数组；当d3时，有c4，a2，仅1种有序数组综上可得共有21216(种)有序数组【答案】6二、解答题93名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上有A种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C种方法，还有2个女同志有A种安排方法，故共有ACA432种安排方法(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种方法，将4组安排到4辆车上有A种方法，故共有CCA216种安排方法10有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？【解】设集合A只会划左舷的3个人，B只会划右舷的4个人，C既会划左舷又会划右舷的5个人先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人，C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BC中选3人，即有C种选法因是分步问题，所以有CC种选法第类，划左舷的人在A中选2人，有C种选法，在C中选1人，有C种选法，划右舷的人在BC中剩下的8个人中选3人，有C种选法因是分步问题，所以有CCC种选法类似地，第类有CCC种选法，第类有CCC种选法故有CCCCCCCCCCC848401 0502002 174种不同的选法能力提升1如果一个三位正整数a1a2a3满足a1a2a3，则称这样的三位数为“好数”(如123,367,378)，那么三位数中所有“好数”的个数是_(用数字作答)【解析】由题意，在1,2，9这九个数字中任取3个，只能组成1个“好数”(0不能选，因为若选0，则0只能排在首位，此时已不是三位数)，故有好数C84个【答案】84个2今有2个红球，3个黄球，4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有_种不同的方法(用数字作答). 【导学号：29440021】【解析】法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有CCC1 260种方法法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有1 260种不同的方法【答案】1 2603如图143，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有_种图143【解析】如图，构造三棱锥ABCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C416种故不同的建桥方案共有16种【答案】164如图144所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？图144(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解】(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：四个点从C1，C2，C6中取出，有C个四边形；三个点从C1，C2，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形；二个点从C1，C2，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形故满足条件的四边形共有NCCCCC360(个)(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为CCCCC116(个)其中含点C1的有CCCC36(个)