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1.5.2定积分明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义1定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x(x)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn.作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分，记为：Sf(x)dx，其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限2定积分的几何意义一般地，定积分f(x)dx的几何意义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近思考2怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一个数值它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了定积分的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和取i(i1,2，n)，则x3dxSnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)逼近n时，2.x3dx.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得(i)x(2)n012(n1)22.(3)逼近：n时，Sn(i)x2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxS.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxS1S2S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图(2)，cos xdxA1A2A30.(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A121.(其中A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积) 1定积分(3)dx_.答案62定积分f(x)dx的大小，以下说法正确的是_与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关与f(x)和i的取法有关，与区间a，b无关与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关答案3根据定积分的几何意义，用不等号连结下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案x2，由定积分的几何意义知xdxx2dx；当dx对应的面积为半圆，小于2dx对应的矩形的面积，所以dxbc解析根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc.5计算定积分dx_.答案解析由于dx2dx表示单位圆的面积，所以dx.6用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S1_(如图1)；图1(2)S2_(如图2)；图2答案(1)sin xdx(2)dx7若|56x|dx2 016，求正数a的最大值解由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0a6.故正数a的最大值为6.二、能力提升8.(2x4)dx_.答案12解析如图A(0，4)，B(6,8)SAOM244，SMBC4816，(2x4)dx16412.9由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是S_.答案sin xdx解析由定积分的意义知，由ysin x，x0，x，y0围成图形的面积为Ssin xdx.10计算dx_.答案4解析dx表示以原点为圆心，4为半径的圆的面积，dx424.11用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2) dx.解(1)在平面上，f(x)2x1为一条直线，(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(2)由y可知，x2y21(y0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形1211sin ，S矩形|AB|BC|2，dx.12利用定积分的定义计算(x22x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么解令f(x)x22x.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分为n个小区间1，1(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和取i1(i1,2，n)，则Snf(1)x(1)22(1)(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)(n3)2n(2)(4)(1)(2)3.(3)逼近当n时，S(x22x)dx3，(x22x)dx的几何意义为由直线x1，x2，y0与曲线f(x)x22x所围成的曲边梯形的面积三、探究与拓展13已知函数f(x)，求f(x)在区间2,2上的积分解由定积分的几何意义，知x3dx0，2xdx24，cos xdx0，由定积分的性质得f(x)dxx3dx2xdxcos xdx24.
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