资源描述
第一讲空间向量及其运算,重点难点重点：掌握空间向量加、减、数乘、数量积的运算和运算律掌握共面向量定理和空间向量基本定理难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用空间线面位置关系的向量表示,知识归纳1空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间,具有大小和方向的量叫做向量.方向且模的向量称为相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量长度为0的向量叫做零向量；模为的向量叫做单位向量；与向量a长度相等，方向的向量叫做a的相反向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广,相同,相等,相反,1,(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：abba.加法结合律：(ab)ca(bc)数乘结合律：(a)()a.数乘分配律：(ab)ab.,2共线向量与共面向量(1)如果表示向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量(零向量与任何一个向量都是共线向量)(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量空间任意两个向量总是共面的，空间三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量,互相平行或,重合,(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式ta，其中向量a叫做直线l的(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)，使p,方向向量,xayb.,3空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z，使p.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组x、y、z使且P在平面ABC内xyz.,xaybzc,1,4空间向量的数量积(1)向量a、b的数量积ab.(2)向量数量积的性质ae|a|cos(e是单位向量)；abab0；|a|2aa.(3)向量的数量积满足如下运算律：(a)b(ab)；abba(交换律)a(bc)abac(分配律)(4)|ab|a|b|.,|a|b|cos,5设i，j，k是单位正交基底，O为空间直角坐标系的原点i、j、k为x轴、y轴、z轴上的基向量，则对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在惟一的有序实数组x、y、z，使xiyjzk，即点A的坐标为(x，y，z),(1)向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3；ababa1b1，a2b2，a3b3(R)或(b1，b2，b3均不为0)abab0a1b1a2b2a3b30.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)；,(2)夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则,误区警示1零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误2空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合3当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内,4特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定(2)在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0，因为其中cos有可能为0，即两向量垂直时ab0.,(3)已知实数a、b、c(b0)，则abbcac，在向量数量积中abbc(b0)并不一定有ac.(4)在实数中，有(ab)ca(bc)，但是在向量中(ab)ca(bc)(5)a、b同向时，ab|a|b|；a与b反向时，ab|a|b|.,如何用空间向量解决立体几何问题1思考方向：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？,(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？,2空间问题如何转化为向量问题(1)平行问题向量共线，注意重合；(2)垂直问题向量的数量积为零，注意零向量；(3)距离问题向量的模；(4)求角问题向量的夹角，注意角范围的统一3向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键,例1在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设则下列向量与相等的是(),答案：A,例2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足(1)判断三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内,分析：(1)判断三向量平面，即寻找实数x、y，使(2)判断点M在平面ABC内，即证四点A、B、C、M共面，由(1)立得,(2)由(1)知，共面且过同一点M，四点M、A、B、C共面，从而点M在平面ABC内,已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面,证明：令(e1e2)(2e18e2)(3e13e2)0则(23)e1(83)e20,由三向量有公共起点A知，A、B、C、D四点共面.,解析：由条件ab0，ac，bc3.|abc|2|a|2|b|2|c|22ab2bc2ac1112062|abc|,点评：向量的模，即表示向量的有向线段的长度，也即向量的终点与始点两点间的距离，因此，求线段长度或两点间距离的问题，通常转化为求向量的模,如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点,b2a2a22bacos602bacos602a2cos902a22abb2.,例4已知a(2，1,3)，b(1,0，2)(1)计算a2b；(2)是否存在实数，使ab与z轴垂直，若存在求之，若不存在，说明你的理由,解析：(1)a2b(2，1,3)2(1,0，2)(0，1,7)(2)ab(2，1,3)(1,0，2)(2，1,32)，z轴的一个方向向量为e(0,0,1)，由(2，1，32)(0,0,1)320得，.存在实数，使向量ab与z轴垂直,a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则ab与ab的夹角为()A0B30C60D90(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)答案：D,例5如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC，求证PMQN.,总结评述：向量a垂直于向量b的充要条件是ab0，据此可以证明直线与直线垂直，在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为0.,如图，在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.求证：AFCE.,点评：用数量积证垂直时，关键是把两向量分别用一组含已知条件最多的基底表示出来,一、选择题1如图，空间四边形OABC中，OAa，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于(),答案B,2若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角余弦值为则等于()答案C,3直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则()Al1l2Bl1与l2相交，但不垂直Cl1l2D不能确定答案C解析ab1(2)23(2)20，ab，l1l2.,4直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量n(2，0，4)，则()AlBlClDl与斜交答案B解析n2a，na，l.,5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则的夹角为()A30B45C60D90答案C,6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M分的比为，点N为B1B的中点，则|MN|()答案A,7已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是()答案D解析kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k,8ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()答案A,10平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长,
展开阅读全文