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2.1.1合情推理(一)明目标、知重点1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用1归纳推理从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论2归纳推理的特点(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理 情境导学佛教百喻经中有这样一则故事从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买”仆人拿好钱就去了到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理探究点一归纳推理思考1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理思考2观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：422633835105512571477165111 000299711 002139863猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电问题：以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？其结论一定正确吗？答共同特点：部分推出整体，个别推出一般(这种推理称为归纳推理)其结论不一定正确小结从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论探究点二归纳推理在数列中的应用例 1已知数列an的第1项a11，且an1(n1,2,3，)，试归纳出这个数列的通项公式解当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an.反思与感悟(1)归纳推理的思想：对于集合 a、b、c、d、e、f ，若a、b、c、dA，则a、b、c、d、e、fA.(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)(3)归纳推理的意义：归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项具有的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式，其正确性有待证明，但为证明正确性提供了方向跟踪训练1已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解(1)当n1时，知a11，由an12an1得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN*)探究点三归纳推理在图形变化中的应用例 2在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_；f(n)_(答案用含n的代数式表示)答案10解析观察图形可知：f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n)n(n1)(2n1).反思与感悟解例2的关键在于寻找递推关系式：f(n)f(n1)，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n(n4且nN*)边形有几条对角线？解凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n边形比凸(n1)边形多(n2)条对角线因此凸n边形的对角线条数为2345(n2)n(n3)(n4且nN*)探究点四归纳推理在算式问题中的应用例3观察下面等式，并从中归纳出一般法则112，1322，13532，135742，1357952，解对于等式，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方猜想结论：135(2n1)n2(nN)反思与感悟对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点跟踪训练3在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中有怎样的不等式成立？答案(n3且nN*)1已知 2，3，4，若 6(a、b均为实数)请推测a_，b_.答案635解析由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a6，b62135.2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应是_答案白色解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657余1.第36颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.4如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为_答案解析观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白呈重点、现规律归纳推理的一般步骤：(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.一、基础过关1数列5,9,17,33，x，中的x_答案65解析5221,9231,17241,33251，归纳可得：x26165.2根据给出的数塔猜测123 45697_.192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111答案1 111 111解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.答案g(x)解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)4f(n)1(nN*)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_答案f(2n)(n2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k1,2，)不等式右侧分别为，k1,2，f(2n)(n2)5已知sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125. 通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：_.答案sin2(60)sin2sin2(60)6观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(3n2)(2n1)27已知正项数列an满足Sn(an)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.解a1S1(a1)，又因为a10，所以a11.当n2时，Sn(an)，Sn1(an1)，两式相减得：an(an)(an1)，即an(an1)所以a22，又因为a20，所以a21.a32，又因为a30，所以a3.a42，又因为a40，所以a42.将上面4个式子写成统一的形式：a1，a2，a3，a4，由此可以归纳推测：an.二、能力提升8古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.9传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5 030(2)解析由以上规律可知三角形数1,3,6,10，的一个通项公式为an，写出其若干项有1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k(k为正整数)，b2k1a5k1(5k1)，故b2 012b21 006a51 006a5 030，即b2 012是数列an中的第5 030项10观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.11根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式(1)a1a，an1；(2)对一切的nN*，an0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(2)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230，对一切的nN*，an0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN*)12已知数列an的前n项和为Sn，a11且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN*)三、探究与拓展13在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式解b1(rp)；b2()2rpp；b3()3rppp归纳得bn()nrppp.
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