2010年高考数学强化双基复习.ppt

2010届高考数学复习强化双基系列课件,82导数的应用,导数的应用理科用,一、复习目标,了解可导函数的单调性与其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.,二、重点解析,对于可导函数f(x),先求出f(x),利用f(x)0(或0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为极值.,是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0),2.函数极值的定义,设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)0,右侧f(x)0.,f(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+),典型例题2,已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-,-2和2,+)上都是递增的,求a的取值范围.,解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3)f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),由题设得f(-2)0且f(2)0.,8+4a0且8-4a0.,-2a2.,故a的取值范围是-2,2.,典型例题3,解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+).,令f(x)=0得x=0.,当-10;,当x0时,f(x)0.,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值为0.,(2)由题设g(x)=lnx+1.,当0x0,F(x)在(a,+)上为增函数.,从而当x=a时,F(x)取极小值F(a)=0.,ba,F(b)0.,又设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G(x)=lnx-ln(a+x).,当x0时,G(x)a,G(a)=0,G(b)0.,F(b)(b-a)ln2.,典型例题4,设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(t,0),f(t)=0t3+at=0.,t0,a=-t2.,又函数g(x)的图象也过点P(t,0),g(t)=0bt2+c=0.,c=ab.,两函数的图象在点P处有相同的切线,f(t)=g(t).,而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,3t2+a=2bt.,将a=-t2代入上式得b=t.,c=ab=-t3.,综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.,(2)方法一,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).,当y=(3x+t)(x-t)0时,y=f(x)-g(x)为减函数.,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,(2)方法二,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=(3x+t)(x-t).,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0对于x(-1,3)恒成立.,则y|x=-10且y|x=30.,即(-3+t)(-1-t)0且(9+t)(3-t)0.,解得t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,典型例题5,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(1)解:函数f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当x=1时,f(x)取得极值-2,f(1)=-2且f(1)=0.,a+c=-2且3a+c=0.,a=1,c=-3.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-1x0得x1.,f(x)在(-,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在,(1,+)上是增函数.,当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2.,故函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是,(-,-1)和(1,+);,f(x)的极大值为2.,典型例题5,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(2)证:由(1)知f(x)=x3-3x在-1,1上是减函数,且f(x)在-1,1上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在-1,1上的最小值m=f(1)=-2,对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|0,u(x)是0,1上的增函数.,0ue.,f(u)=(u-1)2-4,g(x)在0,1上的值域是,-4,e2-2e-3.,(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(ex)上任两点,不妨x1x2.,解得a0.,x1-x20,f(x)=2x-2,故a的取值范围是(-,0).,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得,f(-1)=f(1)=0.,解得a=1,b=0.,3a-2b-3=0且3a+2b-3=0.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-10,故t的取值范围是5,+).,即f(x)在(-1,1)是增函数,课后练习3,已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(0,2),f(0)=2d=2.,f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.,f(x)图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,且f(-1)=6.,3-2b+c=6,且-1+b-c+2=1.,即2b-c=-3,且b-c=0.,b=c=-3.,f(x)=x3-3x2-3x+2.,(2)由(1)知f(x)=3x2-6x-3.,课后练习4,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-2,函数f(x)在x=-2,x=1处取得极值,12a-4b-2=0且3a+2b-2=0.,由f(x)0得-2b,点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,另解:当a=1时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在0,2上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,(2)证:x=2是方程f(x)=0的一个根,f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a.,又f(x)=-3x2+2ax,函数f(x)在0,2上是增函数,a3.,f(1)=-1+a+b=7-3a-2,即f(1)-2.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,(3)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x2,x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立.,a2-30.,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,课后练习6,另解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,不妨x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x1-x2.,f(x1)-x1f(x2)-x2.,记g(x)=f(x)-x,则g(x1)g(x2).,g(x)为R上的减函数.,g(x)0即-3x2+2ax-10对xR恒成立.,a2-30.,导数的应用文科用,导数的应用举例1,解:(1)由已知f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于f(x)在-1,2上的最大值小于m.,f(2)=7,f(x)在-1,2上的最大值为7.,70.,故当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0.,当x=-1时,f(x)取得极大值;当x=1时,f(x)取得极小值.,函数f(x)的极大值比极小值大4,f(-1)-f(1)=4.,即(-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4.,整理得a+b=-3.,由,得a=-1,b=-3.,故a,b的值分别为-1,-3.,导数的应用举例3,解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1,a3a.,令f(x)=0得x=a或x=3a.,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-,a)和(3a,+).,当x=a时,f(x)取极小值f(a),当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.,导数的应用举例3,解:(2)0a1,2aa+1.,f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2在a+1,a+2上为减函数.,f(x)min=f(a+2)=4a-4.,当xa+1,a+2时,恒有|f(x)|a,即,-af(x)a恒成立.,4a-4-a且2a-1a.,又0-7且b-3.,故实数b的取值范围是(-7,-3)(-3,+).,导数的应用举例6,已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的单调区间.,解:由已知可得:-1=f(1)=1-3a+2b,即3a-2b=2.,又f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即6a-2b=3.,f(x)=3x2-2x-1.,导数的应用举例7,解:(1)ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c.,(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1),由ff(x)=f(x2+1)得,c=1.,已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1).(1)设g(x)=ff(x),求g(x);(2)设(x)=g(x)-f(x),试问:是否存在实数,使(x)在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.,f(x)=x2+1,g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.,=x4+(2-)x2+2-.,(x)=4x3+2(2-)x,=2x(2x2+2-).,(x)在(-,-1)内为减函数,(x)0在(-,-1)内恒成立.,-22(-1)2=2,-22.,4.,又(x)在(-1,0)内为增函数,(x)0在(-1,0)内恒成立.,即2x2+2-2x2在(-1,0)内恒成立.,当x(-1,0)时,2x2b,点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,另解:当a=1时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在0,2上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,(2)证:x=2是方程f(x)=0的一个根,f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a.,又f(x)=-3x2+2ax,函数f(x)在0,2上是增函数,a3.,f(1)=-1+a+b=7-3a-2,即f(1)-2.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,(3)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x2,x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立.,a2-30.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,另解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,不妨x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x1-x2.,f(x1)-x1f(x2)-x2.,记g(x)=f(x)-x,则g(x1)g(x2).,g(x)为R上的减函数.,g(x)0即-3x2+2ax-10对xR恒成立.,a2-30.,导数的应用举例9,1m2,导数的应用举例9,对任意的x1,x2m,n),有,导数的应用举例10,解:设每月生产x吨的利润为y元,则x0,且,x=200(-200舍去).,在0,+)上只有一个点x=200使y=0,它就是最大值点,且最大值为,=3150000(元).,故每月生产200吨产品时利润最大,最大利润是315万元.,导数的应用举例11,要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场,现在铁丝网长为lm,只围三边,另一边为一道墙,问长和宽为多少时,才能使所围养鸡场面积最大?,解:设长为xm,宽为ym.,则x+2y=l.,由x,y均为正数得,0xl.,注:本题亦可用二次函数知识解答.,x,y,0x6000时,L0,当x=6000时,L取得最大值.,故要使利润最大,应生产6000件产品.,