资源描述
2020/5/3,高等数学课件,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第五节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动目录上页下页返回结束,第十一章,2020/5/3,高等数学课件,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程(后称之,为纳维斯托克斯方程),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分五卷,出版.,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,一、斯托克斯(Stokes)公式,定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一,证:,情形1与平行z轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见,不妨设取上侧(如图).,则有,简介目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,则,(利用格林公式),定理1目录上页下页返回结束,代入上式,2020/5/3,高等数学课件,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,定理1目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1目录上页下页返回结束,(格林公式),2020/5/3,高等数学课件,或用第一类曲面积分表示:,定理1目录上页下页返回结束,(斯托克斯公式),行列式辅助记忆式,2020/5/3,高等数学课件,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个,解:记三角形域为,取上侧,则,边界,方向如图所示.,利用对称轮换性,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,例2.为柱面,与平面y=z的交线,从z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有,(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关,(3)在G内存在某一函数u,使,(4)在G内处处有,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,定理2目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,同理可证,故有,若(3)成立,则必有,因P,Q,R一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,定理2目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,与路径无关,并求函数,解:令,积分与路径无关,因此,例3.验证曲线积分,定理2目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面的单位法向量为,曲线的单位切向量为,机动目录上页下页返回结束,令,引进一个向量,rotation,2020/5/3,高等数学课件,定义:,沿有向闭曲线的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,机动目录上页下页返回结束,则斯托克斯公式可写为,2020/5/3,高等数学课件,设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点M的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,注意与的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度.,解:,(除原点外),这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,的外法向量,计算,解:,例5.设,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,*四、向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.,则,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成:,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,内容小结,1.斯托克斯公式,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,在内与路径无关,在内处处有,在内处处有,2.空间曲线积分与路径无关的充要条件,设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则,机动目录上页下页返回结束,2020/5/3,高等数学课件,3.场论中的三个重要概念,设,梯度:,机动目录上页下页返回结束,散度:,旋度:,则,2020/5/3,高等数学课件,思考与练习,则,提示:,三式相加即得,机动目录上页下页返回结束,
展开阅读全文