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第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,第一章,1.1.4反函数与复合函数,1.1.3函数的几种特性,1.1.1区间和邻域,第1节,机动目录上页下页返回结束,1.1函数,1.1.2函数的概念,1.1.5初等函数,1.1.1区间和邻域,机动目录上页下页返回结束,开区间：,设,和,都是实数，,且,则数集,称为开区间，记为,即,和,称为开,区间的端点。,闭区间：,数集,称为闭区间，即,类似地有,称为半开半闭区间。,无限区间,点的邻域,去心邻域,其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.,左邻域:,右邻域:,定义域,1.1.2函数的概念,定义1.1.1.设数集,则称映射,为定义在,D上的函数,记为,f(D)称为值域,函数图形:,机动目录上页下页返回结束,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如,绝对值函数,定义域,值域,机动目录上页下页返回结束,例1.已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域.,定义域,值域,机动目录上页下页返回结束,练习习题1.1题1：（3）、（6）,1.1.3.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,使,称,使,称,说明:还可定义有上界、有下界、无界,(2)单调性,为有界函数.,在I上有界.,使,若对任意正数M,均存在,则称f(x)无界.,称为有上界,称为有下界,当,时,称,为I上的,称,为I上的,单调增函数;,单调减函数.,机动目录上页下页返回结束,(3)奇偶性,且有,若,则称f(x)为偶函数;,若,则称f(x)为奇函数.,说明:若,在x=0有定义,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动目录上页下页返回结束,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动目录上页下页返回结束,练习1.1题5.,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称l为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x为有理数,x为无理数,机动目录上页下页返回结束,1.1.4.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,机动目录上页下页返回结束,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,机动目录上页下页返回结束,指数函数,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,机动目录上页下页返回结束,复合映射的特例,u称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,函数,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合,机动目录上页下页返回结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,1.1.5.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,(自学,P7),机动目录上页下页返回结束,非初等函数举例:,符号函数,当x0,当x=0,当x0,取整函数,当,机动目录上页下页返回结束,例2.求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,作业习题1.1P71(2),(5);P83;7(4);8,2.函数的定义及函数的二要素,第二节目录上页下页返回结束,
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