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2020年5月3日星期日,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2020年5月3日星期日,2,第七章多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,2020年5月3日星期日,3,主要内容,第一节多元函数的基本概念,第二节偏导数,第三节全微分,第四节多元复合函数的求导法则,第五节隐函数的求导公式,第六节多元微分学在几何上的应用,第七节方向导数与梯度,第八节多元函数的极值及其求法,2020年5月3日星期日,4,第一节多元函数的基本概念,第七章,(Conceptionoffunctionsofseveralvariables),四、多元函数的连续性,一、平面点集n维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,五、小结与思考练习,2020年5月3日星期日,5,一、平面点集n维空间,1.邻域,点集,称为点P0的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点P0的去心邻域记为,2020年5月3日星期日,6,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,.,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2020年5月3日星期日,7,(1)内点、外点、边界点,设有点集E及一点P:,若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E,则称P为E的内点；,则称P为E的外点;,则称P为E的边界点.,的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的,边界点可能属于E,也可能不属于E.,2.区域,2020年5月3日星期日,8,若对任意给定的,点P的去心,邻域,内总有E中的点,则,称P是E的聚点.,聚点可以属于E,也可以不属于E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为E的导集.,E的边界点),(2)聚点,2020年5月3日星期日,9,若点集E的点都是内点，则称E为开集；,若点集EE,则称E为闭集；,若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称D是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,.,E的边界点的全体称为E的边界,记作E;,(3)开区域及闭区域,2020年5月3日星期日,10,开区域,闭区域,例如，在平面上,2020年5月3日星期日,11,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点,A的距离APK,则称D为有界域,界域.,否则称为无,2020年5月3日星期日,12,n元有序数组,的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第k个坐标.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,3.n维空间,2020年5月3日星期日,13,的距离记作,中点a的邻域为,规定为,与零元O的距离为,2020年5月3日星期日,14,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,2020年5月3日星期日,15,点集D称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当n=2时,有二元函数,当n=3时,有三元函数,映射,称为定义,在D上的n元函数,记作,定义1设非空点集,2020年5月3日星期日,16,定义域为,圆域,说明:,二元函数z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,例如,二元函数,2020年5月3日星期日,17,三、多元函数的极限,定义2设n元函数,点,则称A为函数,(也称为n重极限),当n=2时,记,二元函数的极限可写作：,P0是D的聚,若存在常数A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,2020年5月3日星期日,18,求证：,证:,故,总有,要证,（课本例5）,例1设,2020年5月3日星期日,19,求证：,证：,故,总有,要证,（自学课本例6）,例2（补充题）设,2020年5月3日星期日,20,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,函数,例3讨论函数,2020年5月3日星期日,21,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.,二重极限,2020年5月3日星期日,22,四、多元函数的连续性,定义3设n元函数,定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称n元函数,连续.,连续,2020年5月3日星期日,23,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,例如,函数,2020年5月3日星期日,24,解:原式,例6求函数,的连续域.,解:,（补充题）,例5（课本例9）求,2020年5月3日星期日,25,*(4)f(P)必在D上一致连续.,在D上可取得最大值M及最小值m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则,2020年5月3日星期日,26,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,2020年5月3日星期日,27,有,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,3.多元函数的极限,2020年5月3日星期日,28,习题711(2),(3)；3；5（偶数题）；6（偶数题）；7（1）；8；9,课外练习,思考与练习,1.习题717（2）,令x=ky，,若令,则,可见极限不存在,2020年5月3日星期日,29,2.设,求,解法1令,2020年5月3日星期日,30,求,解法2令,即,2.设,2020年5月3日星期日,31,是否存在？,解：,所以极限不存在.,3.,2020年5月3日星期日,32,在全平面连续.,证:,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,4.证明,
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