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*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,数量积向量积*混合积,第八章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,故,2.性质,为两个非零向量,则有,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,为).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度,例3.设均匀流速为,的流体流过一个面积为A的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,当二阶行列式,二元线性方程组：,Supplement（二阶、三阶行列式）,时，该方程组有唯一解.,行,列,当三阶行列式,时，该方程组有唯一解.,o,o,o,o,二、两向量的向量积,引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,(1)反交换律,4.向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,(行列式计算见P339P342),例4.已知三点,角形ABC的面积,解:如图所示,求三,一点M的线速度,例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上,的表示式.,解:在轴l上引进一个角速度向量,使,其,在l上任取一点O,作,它与,则,点M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,*三、向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2.混合积的坐标表示,设,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),例6.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例7.证明四点,共面.,解:因,故A,B,C,D四点共面.,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2.向量关系:,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角的正弦与余弦.,答案:,2.用向量方法证明正弦定理:,证:由三角形面积公式,所以,因,备用题,1.已知向量,的夹角,且,解：,在顶点为,三角形中,求AC边上的高BD.,解：,三角形ABC的面积为,2.,而,故有,引理,c,a,将矢量a一投一转（转900），,证明,引入,证毕,(a+b)c=(ac)+(bc),c0,3.证明矢量积的分配律:,两矢方向:,一致；,a2,|a2|=|a1|,a2,得a2,(a+b)c=(ac)+(bc),c,b,a,a+b,(a+b)c,ac,由矢量和的平行四边形法则，,得证,c0,3.证明矢量积的分配律:,.,.,bc,将平行四边形一投一转,(a+b)c=(ac)+(bc),b,c,ab,a,S=|ab|,h,4.混合积的几何意义,h,a,c,ab,b,4.混合积的几何意义,.,h,a,c,ab,b,4.混合积的几何意义,.,其混合积abc=0,三矢a,b,c共面,因此，,
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