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专题限时集训(十七)函数与方程A组高考达标 一、选择题1(2016武汉一模)函数f(x)ln xx39的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)C由于函数f(x)ln xx39在(0，)上是增函数，f(2)ln 210，f(3)ln 3180，故函数f(x)ln xx39在区间(2,3)上有唯一的零点2(2016张掖一模)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()Acba BabcCcab DbacB由f(x)0得exx，由g(x)0得ln xx.由h(x)0得x1，即c1.在坐标系中，分别作出函数yex，yx，yln x的图象，由图象可知a0,0b1，所以abc.3(2016武汉模拟)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()A1B2 C3D4Cg(x)f(1x)1当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.4(2016山东实验中学模拟)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1,0) D1,0)D当x0时，f(x)3x1有一个零点x，所以只需要当x0时，exa0有一个根即可，即exa.当x0时，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故选D.5(2016安庆二模)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k仅有一个零点，则k的取值范围是()A.B(，0)C(，0)D(，0)D函数f(x)函数g(x)f(x)k仅有一个零点，即f(x)k只有一个解，在平面直角坐标系中画出yf(x)的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k(，0)，故选D.二、填空题6(2016宜昌模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_当x0,3)时，f(x)，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在3,4上的图象，如图由题意知方程af(x)在3,4上有10个不同的根由图可知a.7(2016西安模拟)函数f(x)|x1|2cos x(4x6)的所有零点之和为_10问题可转化为y|x1|与y2cos x在4x6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x1对称，所以x1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x1两侧分别有5个交点，所以所求和为5210.8(2016南宁二模)已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_ 【导学号：85952064】3依题意得解得令g(x)0，得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2，因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3.三、解答题9已知f(x)|2x1|ax5(a是常数，aR)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)如果函数yf(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|2x1|x52分由解得x2；由解得x4.所以f(x)0的解集为x|x2或x4.6分(2)由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，10分观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数yf(x)有两个不同的零点故a的取值范围是(2,2).12分10(名师押题)已知函数fn(x)xln x(nN*，e2.718 28为自然对数的底数)(1)求曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程；(2)讨论函数fn(x)的零点个数解(1)因为f1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程为y1(x1)，即yx.4分(2)令fn(x)0，得xln x0(nN*，x0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，则函数fn(x)的零点与函数g(x)nln xx的零点相同因为g(x)1，令g(x)0，得xn，所以当xn时，g(x)0；当0xn时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(0，n上单调递增，在区间n，)上单调递减所以函数g(x)在xn处有最大值，且g(n)nln nn.8分当n1时，g(1)ln 1110，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n2时，g(2)2ln 222ln e20，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n3时，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)n(ln e1)0，因为g(e2n)nln e2ne2n2n24n2n2(13)n2n22n213n3n(n1)n210，且g(1)0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)nln xx在区间(1，n)和(n，)内都恰有一个零点所以函数g(x)nln xx的零点个数为2.综上所述，当n1或n2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n3且nN*时，函数fn(x)的零点个数为2.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016南昌二模)若函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x.若在区间(1,1内，g(x)f(x)mx2m有两个零点，则实数m的取值范围是()A0m B0mC.m1 D.m1B当1x0时，0x11，所以f(x1)x1，从而f(x)11，于是f(x)f(x)mx2m0f(x)m(x2)，由图象可知0mkAB.2(2016新余九校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)16，当x(0,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在4,2 016上的零点个数是()A504 B505C1 008 D1 009Bf(x)f(x4)16，f(x4)f(x8)16，f(x)f(x8)，函数f(x)是R上周期为8的函数又f(2)f(4)0,2 02082524，f(2)f(10)f(18)f(82512)，f(4)f(4)f(82514)，故函数f(x)在4,2 016上的零点个数是25112512505，故选B.3(2016临汾模拟)函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为() 【导学号：85952065】A(，0) B0,1)C(，1) D0，)C函数f(x)的图象如图所示，作出直线l：yax，向左平移直线l，观察可得函数yf(x)的图象与直线l：yxa有两个交点，则方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根时，a1，故选C.4(2016衡阳模拟)函数f(x)的定义域为1,1，图象如图171(1)所示，函数g(x)的定义域为2,2，图象如图171(2)所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn()(1)(2)图171A14B12 C10D8A由题图(1)可知，若f(g(x)0，由g(x)1或g(x)0或g(x)1，由题图(2)知，g(x)1时，x1或x1；g(x)0时，x的值有3个；g(x)1时，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，则f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0，由题图(1)知，f(x)1.5与f(x)1.5时，x的值各有2个；f(x)0时，x1或x1或x0，故n7.故mn14.故选A.二、填空题5(2016中原名校联考)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为_13a函数f(x)和ya的图象如图所示，由图可知，f(x)的图象与直线ya有5个交点，所以函数F(x)f(x)a有5个零点从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5，则x1x28，x4x58.当2x0时，0x2，所以f(x)log(x1)log3(1x)，即f(x)log3(1x)，2x0，由f(x)log3(1x)a，解得x13a，即x313a，所以函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为x1x2x3x4x513a.6(2016衡水模拟)已知函数f(x)x，g(x)logx，记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为_5由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线yx对称，函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，所以5，所以x1x25.三、解答题7已知函数f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数(1)求k的值；(2)设g(x)log4，若方程f(x)g(x)有且仅有一解，求实数a的取值范围解(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)f(x)，所以log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，所以log42kx，即x2kx对一切xR恒成立，所以k.4分(2)由已知f(x)g(x)，有且仅有一解，即方程log4(4x1)xlog4(a2xa)有且只有一个实根，即方程2xa2xa有且只有一个实根令t2x0，则方程(a1)t2at10有且只有一个正根.8分当a1时，则t不合题意；当a1时，0，解得a或3.若a，则t2，不合题意；若a3，则t；若方程有一个正根与一个负根，即0，解得a1.综上所述，实数a的取值范围是3(1，).12分8已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根. 【导学号：85952066】解(1)g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)因而只需m2e，g(x)m有实根.4分(2)g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出g(x)x(x0)和f(x)的图象如图8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其最大值为m1e2，故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根，m的取值范围是me22e1.12分
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