高三数学二轮复习 第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和 理

突破点5数列的通项与求和提炼1an和Sn的关系若an为数列an的通项，Sn为其前n项和，则有an在使用这个关系式时，一定要注意区分n1，n2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anc(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解(6)取对数法：形如an1pa(p0，an0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法回访1an与Sn的关系1(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.又Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)(1)n，即Sn.2(2013全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.(2)n1当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1为首项的等比数列，其公比为2，an1(2)n1，即an(2)n1.回访2数列求和3(2015全国卷改编)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3，则(1)an的通项公式为_；(2)设bn，则数列bn的前n项和为_(1)an2n1(2)(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.4(2012全国卷)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_1 830an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.热点题型1数列中的an与Sn的关系数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式 【导学号：85952024】解由已知，当n2时，1，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以当n2时，anSnSn1.10分因此an12分给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形变式训练1(1)(2016合肥三模)已知数列an前n项和为Sn，若Sn2an2n ，则Sn_.(2)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn23an(nN*)，则an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得当n1时，S1a12；当n2时，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)，当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因为2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.当n1时，22S13a1，所以a12，所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1(nN*)热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和.已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由已知及等差数列的性质得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比数列，即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故数列an的通项公式为an4n2，nN*.6分(2)证明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn1.10分又TnT1，所以Tn.12分裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常见的裂项方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数变式训练2(名师押题)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn，10分所以Tnb1b2bn1.12分热点题型3错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).2分由题意知：当n1时，b1b21，故b22.3分当n2时，bnbn1bn.4分整理得，所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，8分所以Tn2Tn222232nn2n1.9分故Tn(n1)2n12(nN*).12分运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列an，bn中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘以公比，再把前n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证变式训练3已知在公比大于1的等比数列an中，a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点(1)求数列an 的通项公式；(2)求数列2nan的前n项和Sn.解(1)因为a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点，且等比数列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以数列an的通项公式为an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ，所以Sn12222n2n，7分2Sn122223(n1)2nn2n1，8分由，得Sn222232nn2n1n2n1，11分所以Sn2(n1)2n1(nN*).12分