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专题一三角函数与平面向量建知识网络明内在联系高考点拨三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考突破点1三角函数问题提炼1三角函数的图象问题(1)函数yAsin(x)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定，利用图象的某一已知点坐标确定.(2)三角函数图象的两种常见变换提炼2三角函数奇偶性与对称性(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称中心的横坐标可由xk，(kZ)解得(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称中心的横坐标可由xk(kZ)解得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数；对称中心的横坐标可由x(kZ)解得，无对称轴.提炼3三角变换常用技巧(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦.提炼4三角函数最值问题(1)yasin xbcos xc型函数的最值：可将y转化为ysin(x)c其中tan 的形式，这样通过引入辅助角可将此类函数的最值问题转化为ysin(x)c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解(2)yasin2xbsin xcos xccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x，sin xcos x，cos2x，将yasin2xbsin xcos xccos2x转化整理为yAsin 2xBcos 2xC，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值回访1三角函数的图象问题1(2016全国甲卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)B将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin 22sin的图象由2xkx(kZ)，得x(kZ)，即平移后图象的对称轴为x(kZ)2(2014全国卷)图11如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()B如图所示，当x时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MMOP，M为垂足，则sin x，sin x，f(x)sin xcos xsin 2x，则当x时，f(x)max；当x时，有sin(x)，f(x)sin xcos xsin 2x，当x时，f(x)max.只有B选项的图象符合回访2三角函数的性质问题3(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图12所示，则f(x)的单调递减区间为()图12A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZD由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.4(2016全国乙卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11B9 C7D5B因为f(x)sin(x)的一个零点为x，x为yf(x)图象的对称轴，所以k(k为奇数)又T，所以k(k为奇数)又函数f(x)在上单调，所以，即12.若11，又|，则，此时，f(x)sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件若9，又|，则，此时，f(x)sin，满足f(x)在上单调的条件故选B.5(2013全国卷)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.f(x)sin x2cos x，设cos ，sin ，则y(sin xcos cos xsin )sin(x)xR，xR，ymax.又x时，f(x)取得最大值，f()sin 2cos .又sin2cos21，即cos .回访3三角恒等变换6(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB. CD.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.7(2016全国甲卷)若cos，则sin 2()A. B.C DD因为cos，所以sin 2coscos 22cos2121.热点题型1三角函数的图象问题题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.(1)(2016山西四校联考)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.B.C.D.(2)(2016衡水中学四调)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图13所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则()图13A2， B2，C， D，(1)A(2)A(1)设f(x)cos xsin x22sin，向左平移m个单位长度得g(x)2sin.g(x)的图象关于y轴对称，g(x)为偶函数，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值为.(2)由题意可知，T，2.又sin0,0，故选A.1函数yAsin(x)的解析式的确定(1)A由最值确定，A；(2)由周期确定；(3)由图象上的特殊点确定提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先依据图象的升降分清零点的类型2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向变式训练1(1)为了得到函数ysin的图象，可以将函数ycos 2x的图象() 【导学号：85952009】A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度(2)(2016江西八校联考)函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图14所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 016)的值为()图14A0B3C6D(1)B(2)A(1)ycos 2xsin，ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得ysinsin的图象故选B.(2)由题图可得，A2，T8，8，f(x)2sinx.f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 0168252，f(1)f(2)f(2 016)0.热点题型2三角函数的性质问题题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为xxk，kZ.1分f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.4分所以f(x)的最小正周期T.6分(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.8分设A，Bxkxk，kZ，易知AB.10分所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.12分研究函数yAsin(x)的性质的“两种”意识1转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成yAsin(x)B的形式2整体意识：类比于研究ysin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”代入求解便可变式训练2(1)(名师押题)已知函数f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象关于函数g(x)，下列说法正确的是()A在上是增函数B其图象关于直线x对称C函数g(x)是奇函数D当x时，函数g(x)的值域是2,1(2)已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若是f(x)的一个单调递增区间，则的取值范围为() 【导学号：85952010】A.B.C.D.(1)D(2)C(1)因为f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)f2sin2sin2cos 2x.对于A，由x可知2x，故g(x)在上是减函数，故A错；又g2cos0，故x不是g(x)的对称轴，故B错；又g(x)2cos 2xg(x)，故C错；又当x时，2x，故g(x)的值域为2,1，D正确(2)令2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，所以函数f(x)在上单调递增因为是f(x)的一个单调递增区间，所以k，且k，kZ，解得2k2k，kZ，又|，所以.故选C.热点题型3三角恒等变换题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查yAsin(x)的有关性质.(1)(2016江西八校联考)如图15，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC，若|BC|1，则cos2sincos 的值为_图15(2)已知函数f(x)sin2cos22sincos的图象经过点，则函数f(x)在区间上的最大值为_(1)(2)(1)由题意可知|OB|BC|1，OBC为正三角形由三角函数的定义可知，sinAOBsin，cos2sincoscos sin sin.(2)f(x)sin2cos22sincos cossin2sin.由f(x)的图象过点，得2sin2sin，故f(x)2sin.因为0x，所以.因为ysin x在上单调递增，所以f(x)的最大值为f2sin.1解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向2在研究形如f(x)asin xbcos x的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin xbcos xsin(x)把函数f(x)化为Asin(x)的形式，通过对函数yAsin(x)性质的研究得到f(x)asin xbcos x的性质变式训练3(1)(2014全国卷)设，且tan ，则()A3 B2C3 D2(2)已知sinsin ，0，则cos等于()A B C. D.(1)B(2)C(1)法一：由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：tan cottantan，k，kZ，22k，kZ.当k0时，满足2，故选B.(2)sinsin ，0，sin cos ，sin cos ，coscos cos sin sin cos sin .13
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