高三数学二轮复习 专题限时集训12 专题4 突破点12 立体几何中的向量方法 理

专题限时集训(十二)立体几何中的向量方法建议用时：45分钟1(2016北京高考)如图129，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.图129 (1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.2分又因为PAPD，所以PD平面PAB.4分(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.5分如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1).6分设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2).8分又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.10分(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.11分因此点M(0,1，)，(1，).12分因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.14分2(2016四川高考)如图1210，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.图1210(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【导学号：85952045】 解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行如图(1)，延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.4分又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.6分(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.7分设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.如图(1)，过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA平面ABCD，从而PACE，于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.9分过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE，所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.12分法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.又PAAB，所以PA平面ABCD.7分(2)设BC1，则在RtPAD中，PAAD2，作Ay平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2).9分设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1).10分设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.12分3(2016石家庄一模)在平面四边形ACBD(如图1211(1)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图1211(2)所示的三棱锥CABD，且使CD.(1)(2)图1211(1)求证：平面CAB平面DAB；(2)求二面角ACDB的余弦值 【导学号：85952046】解(1)证明：取AB的中点O，连接CO，DO，在RtACB，RtADB中，AB2，CODO1.又CD，CO2DO2CD2，即COOD.2分又COAB，ABODO，AB，OD平面ABD，CO平面ABD.4分又CO平面ABC，平面CAB平面DAB.5分(2)以O为原点，AB，OC所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D，(0,1,1)，(0，1,1)，.6分设平面ACD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则y11，x1，n1(，1,1).8分设平面BCD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令z21，则y21, x2，n2，10分cosn1，n2，二面角ACDB的余弦值为.12分4(2016郑州二模)如图1212，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.图1212(1)求证：AD平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值解(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.2分AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，4分DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.6分(2)由(1)可建立以直线DA，DB，DE为x轴、y轴、z轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP(0)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1).8分设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得取y1，则n1(，1，)n2(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，cos .0，当时，cos 有最大值，的最小值为.12分