高三数学二轮复习 专题限时集训12 专题4 突破点12 立体几何中的向量方法 理

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专题限时集训(十二)立体几何中的向量方法建议用时:45分钟1(2016北京高考)如图129,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD.图129 (1)求证:PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由解(1)证明:因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.2分又因为PAPD,所以PD平面PAB.4分(2)取AD的中点O,连接PO,CO.因为PAPD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为ACCD,所以COAD.5分如图,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).6分设平面PCD的法向量为n(x,y,z),则即令z2,则x1,y2.所以n(1,2,2).8分又(1,1,1),所以cosn,.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.10分(3)设M是棱PA上一点,则存在0,1使得.11分因此点M(0,1,),(1,).12分因为BM平面PCD,所以要使BM平面PCD当且仅当n0,即(1,)(1,2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时.14分2(2016四川高考)如图1210,在四棱锥PABCD中,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.图1210(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【导学号:85952045】 解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行如图(1),延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下:由已知,知BCED,且BCED,所以四边形BCDE是平行四边形,从而CMEB.4分又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.6分(说明:延长AP至点N,使得APPN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一:由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD,从而CDPD,所以PDA是二面角PCDA的平面角,所以PDA45.7分设BC1,则在RtPAD中,PAAD2.如图(1),过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH,易知PA平面ABCD,从而PACE,于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.9分过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE,所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中,AEH45,AE1,所以AH.在RtPAH中,PH,所以sinAPH.12分法二:由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD,于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角,所以PDA45.又PAAB,所以PA平面ABCD.7分(2)设BC1,则在RtPAD中,PAAD2,作Ay平面PAD,以A为原点,以,的方向分别为x轴、z轴的正方向,建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2).9分设平面PCE的法向量为n(x,y,z),由得设x2,解得n(2,2,1).10分设直线PA与平面PCE所成角为,则sin ,所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.12分3(2016石家庄一模)在平面四边形ACBD(如图1211(1)中,ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB2,BAD30,BAC45,将ABC沿AB折起,构成如图1211(2)所示的三棱锥CABD,且使CD.(1)(2)图1211(1)求证:平面CAB平面DAB;(2)求二面角ACDB的余弦值 【导学号:85952046】解(1)证明:取AB的中点O,连接CO,DO,在RtACB,RtADB中,AB2,CODO1.又CD,CO2DO2CD2,即COOD.2分又COAB,ABODO,AB,OD平面ABD,CO平面ABD.4分又CO平面ABC,平面CAB平面DAB.5分(2)以O为原点,AB,OC所在的直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,1,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D,(0,1,1),(0,1,1),.6分设平面ACD的法向量为n1(x1,y1,z1),则即令z11,则y11,x1,n1(,1,1).8分设平面BCD的法向量为n2(x2,y2,z2),则即令z21,则y21, x2,n2,10分cosn1,n2,二面角ACDB的余弦值为.12分4(2016郑州二模)如图1212,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,BCD120,四边形BFED为矩形,平面BFED平面ABCD,BF1.图1212(1)求证:AD平面BFED;(2)点P在线段EF上运动,设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为,试求的最小值解(1)证明:在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,BCD120,AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.2分AB2AD2BD2,ADBD.平面BFED平面ABCD,平面BFED平面ABCDBD,DE平面BFED,DEDB,DE平面ABCD,4分DEAD,又DEBDD,AD平面BFED.6分(2)由(1)可建立以直线DA,DB,DE为x轴、y轴、z轴的如图所示的空间直角坐标系,令EP(0),则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,0),P(0,1),(1,0),(0,1).8分设n1(x,y,z)为平面PAB的法向量,由得取y1,则n1(,1,)n2(0,1,0)是平面ADE的一个法向量,cos .0,当时,cos 有最大值,的最小值为.12分
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