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2017届高三七校联考期中考试数学试卷 第卷 2016年11月说明：本卷满分为160分.考试时间为120分钟.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1.已知复数z113i，z23i(i为虚数单位)在复平面内，z1z2对应的点在第 象限2某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：40，50)，50，60)，90，100后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在70，80)内的人数是 S1I3While S200 SSIII2End WhilePrint I (第2题) (第4题)3.在ABC的边AB上随机取一点P，记CAP和CBP的面积分别为S1和S2，则S12S2的概率是 4执行右上边的伪代码，输出的结果是 5设等差数列的前项和为，若，则 6已知函数是奇函数，当时，且，则 7.设函数的部分图象如图所示.Oxy第15题图2则= Oxy2 (第7题) 8.如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是 9已知0，且coscos，sinsin，则tan()的值为 10.正数x、y满足x2y2，则的最小值为 11.已知直线l：xy1与圆M：x2+y22x2y1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于 直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为12如图，梯形中，若，则 13 设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为 14若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤15（本小题满分14分） 在中，已知，向量，且.(1) 求A的值；(2) 若点D在边BC上，且3，AD，求ABC的面积16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点（1）求证：A1C平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BMB1D，求证：平面AB1D平面ABM17.（本小题满分14分） 已知椭圆C:1(ab0)，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB（1）求椭圆C的方程；（2）求AOB面积取得最小值时，线段AB的长度；18.（本小题满分16分） 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ(1).若，求的长度；(2).当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由PDQCNBAM19.（本小题满分16分） 设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求.20（本小题满分16分）对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意xD，都有|f(x)g(x)|M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作|f(x)，g(x)|（1）求f(x)sinx(xR)，g(x)cosx(xR)的差距；（2）设f(x)(x1,e)，g(x)mlnx(x1, e)(e2.718)若m2，且|f(x)，g(x)|1，求满足条件的最大正整数a；若a2，且|f(x)，g(x)|2，求实数m的取值范围2017届高三七校联考数学试卷第卷 附加题部分说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21(B)（选修：矩阵与变换） 已知a、bR，若M所对应的变换T把直线2xy3变换成自身，试求实数a、b. 21(C)（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点P，直线，求点P到直线的距离22（本小题满分10分）已知曲线C：y22x4.(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程23（本小题满分10分） 已知整数n4，集合M1，2，3，n的所有含有4个元素的子集记为A1，A2，A3，.设A1，A2，A3，中所有元素之和为Sn.(1) 求并求出Sn；(2) 证明：S4S5Sn.参考答案及评分标准2017届高三七校联考期中考试数学试卷 第卷 2016年11月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知复数z113i，z23i(i为虚数单位)在复平面内，z1z2对应的点在第 象限答案：二解析：z1z2(13)(31)i22i，从而z1z2在第二象限本题考查了复数的四则运算本题属于容易题2 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：40，50)，50，60)，90，100后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在70，80)内的人数是 S1I3While S200 SSIII2End WhilePrint I答案：30解析：由题设可知a0.03，从而70，80)人数为0.031010030人本题考查频率直方图的基础知识，属于容易题 (第2题) (第4题)3.在ABC的边AB上随机取一点P，记CAP和CBP的面积分别为S1和S2，则S12S2的概率是 答案：解析：由题设可知P(S12S2).本题考查几何概型的基础知识本题属于容易题4执行右上边的伪代码，输出的结果是 答案：11解析：由流程图知.本题考查流程图中当循环语句本题属于容易题5设等差数列的前项和为，若，则 答案：.本题主要考查等差数列的通项、前项和公式本题属于容易题6已知函数是奇函数，当时，且，则 答案：Oxy2.本题属于容易题7.设函数的部分图象如图所示.Oxy第15题图2则= 答案：.本题考查三角函数的图像和性质本题属于容易题8 如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是 答案：本题主要考查向量的运算本题属于中等题9已知0，且coscos，sinsin，则tan()的值为 答案： .本题考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式.本题属于中等题10.正数x、y满足x2y2，则的最小值为 答案： 9解析：(x2y)(2816)(102)189，当且仅当4，x2y2，即y，x时“”成立本题考查基本不等式综合应用本题属于中等题11.已知直线l：xy=1与圆M：x2+y22x+2y1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为答案：.本题考查直线与圆的位置关系本题属于中等题12如图，梯形中，若，则 答案：.13设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为 答案：0或1解析： Snkn2n， 数列an是首项为k1公差为2k的等差数列，an2kn1k.又对于任意的mN*都有aama4m， aa1a4，(3k1)2(k1)(7k1)，解得k0或1.又k0时an1，显然对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列；k1时an2n，am2m，a2m4m，a4m8m，显然对于任意的mN*，am，a2m，a4m也成等比数列综上所述，k0或k1.本题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查推理变形的能力本题属于中等题14.若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 答案：，解析：易知在上均为增函数，不妨设，则等价于即令，则在为减函数，则在上恒成立，恒成立令，为减函数，在的最大值为综上，实数的取值范围为.本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力本题属于难题二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（本小题满分14分）在中，已知，向量，且.(1) 求A的值；(2) 若点D在边BC上，且3，AD，求ABC的面积解：(1) 由题意知mnsinAcosB0， (2分)又C，ABC，所以sinAcos0， (4分)即sinAcosAsinA0，即sin0. (6分)又0A，所以(，)，所以A0，即A. (7分)注：不写范围扣1分.(2) 设|x，由3，得|3x，由(1)知AC，所以|3x，B.在ABD中，由余弦定理，得()2(3x)2x223xxcos， (10分)解得x1，所以ABBC3， (12分)所以SABCBABCsinB33sin. (14分)16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点（1）求证：A1C平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BMB1D，求证：平面AB1D平面ABM证明：(1)记A1BAB1O，连接OD.四边形AA1B1B为矩形，O是A1B的中点，又D是BC的中点，A1COD. 2分又A1C平面AB1D，OD平面AB1D，A1C平面AB1D. 6分注意：条件“A1C平面AB1D，OD平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)ABC是正三角形，D是BC的中点，ADBC. 8分平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C. 【或利用CC1平面ABC证明AD平面BB1C1C.】 10分BM平面BB1C1C，ADBM. 12分又BMB1D，ADB1DD，AD,B1D平面AB1D，BM平面AB1D.又BM平面ABM，平面AB1D平面ABM 14分17（本小题满分14分）已知椭圆C:1(ab0)，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB（1）求椭圆C的方程；（2）求AOB面积取得最小值时，线段AB的长度；解析：(1)设椭圆的半焦距为，则由题意的，解得所以椭圆C的方程为y1.4分（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，若k0，则A(，0)或(，0)，B(0，2)，此时AOB面积为，AB6分若k0，则直线OA：ykx与椭圆y1联立得： (12k)x2，可得OA， 8分 直线OB：yx与y2联立得：B(2k，2)，则OB2， 10分SOABOAOB，令t1， 12分则SOAB(t)，所以SOAB的最小值为，在k0时取得，此时AB .14分(注：若利用SOAB(t)，忽略k0的条件，求出答案的，本问给2分)18. （本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ(1).若，求的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由解（1）连接, 过作垂足为 , 过作垂足为PDQCNBAM在中，4分（2）设， 若，在中， 若则若则 8分在中， ， 所以总路径长 10分 12分令， 当 时，当 时， 14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. 16分19 （本小题满分16分）设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求.解：(1)当n=1时，所以 （1分）当n2时， ，且 所以得： （3分）则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的通项公式是 。 （4分） (2) 由 且 所以：，则：， ，（7分）以上n-1个等式相加得： 则：2，又 （9分） 所以： （10分）（3） 由题意知 （11分）则以上两式相减得 （13分） 则 恒成立， 注：需用单调性证明唯一性，否则扣1分. （16分）20（本小题满分16分） 对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意xD，都有|f(x)g(x)|M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作|f(x)，g(x)|（1）求f(x)sinx(xR)，g(x)cosx(xR)的差距；（2）设f(x)(x1,e)，g(x)mlnx(x1, e)(e2.718)若m2，且|f(x)，g(x)|1，求满足条件的最大正整数a；若a2，且|f(x)，g(x)|2，求实数m的取值范围解：（1）|f(x)g(x)|sinxcosx|sin(x)|，当xk，kZ时取“”，所以|f(x)，g(x)|（4分）x(0,16)16(16,)h(x)0h(x)（2）令h(x)f(x)g(x)2lnx则h(x)，令h(x)0，则x16列表：h(1)1；当a3时，h(e)e3，由于e316，因此e2，所以e31；当a4时，h(e)e41，故满足条件的最大正整数为3 （10分）法一：由a2，且|f(x)，g(x)|2，得|f(x)g(x)|2，从而|mlnx|2，所以2mlnx2当x1时，上式显然成立；当x(1，e时，上式化为m令w(x)，则w(x)0，从而w(x)在(1，e上递减，从而w(x)minw(e)2，从而m2；令v(x)，则v(x)0，从而v(x)在(1，e上递增，从而v(x)maxv(e)2，从而m2，所以2m2又由于|f(x)，g(x)|2，故m2或m2，所以m的取值范围为2，2（16分）法二：令h(x)f(x)g(x)mlnx，则h(x)（1）若m，则h(x)0，从而h(x)在1,e上递增，又h(1)1，h(e)m，所以m2，m2；（ii）若m，则h(x)0，从而h(x)在1,e上递减，又h(1)1，h(e)m，所以m2，m2；（iii）若m，则由h(x)0，可得x4m2，列表x1(1, 4m2)4m2(4m2,e)eh(x)0h(x)12mmln(4m2)m因为m2，所以2mmln(4m2)2，令u(m)2mmln(4m2)m(2ln4)2mlnmu(m)2ln422lnmln42lnm2 ln2m0，u(m)u()，故该情况不成立综上，m的取值范围是2，2 （16分）2017届高三七校联考数学试卷卷 附加题部分本部分共4大题，每题10分，共40分。请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。附加：矩阵、极坐标与参数方程、曲线与方程、二项式定理21(B)（选修：矩阵与变换） 已知a、bR，若M所对应的变换T把直线2xy3变换成自身，试求实数a、b.解：设，则 (3分) ， 2(xay)(bx3y)3.即(2b)x(2a3)y3. (6分)此直线即为2xy3， 2b2，2a31.则a1，b4. (10分) 21(C)（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点P，直线，求点P到直线的距离解：点P的直角坐标为(3，)， (4分)直线l的普通方程为xy40， (8分)从而点P到直线l的距离为. (10分)22（本小题满分10分）已知曲线C：y22x4.(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：(1) 当y0时yf(x)， y， (3分) kf(3)， (4分) 切线为y(x3)，即xy10. (5分)(2) 设l：ykx，线段AB的中点M(x，y)由得k2x22x40，(6分) 416k20， 16k24，即k22k22. (7分)设直线l与曲线C的交点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)，由中点坐标公式得 (9分)消去k，得y2x，即所求轨迹方程为y2x(x2) (10分)23（本小题满分10分）已知整数n4，集合M1，2，3，n的所有含有4个元素的子集记为A1，A2，A3，.设A1，A2，A3，中所有元素之和为Sn.(1) 求并求出Sn；(2) 证明：S4S5Sn.(1) 解：当n4时，集合M只有1个符合条件的子集， 123+410，(1分)当n5时，集合M每个元素出现了次，40，(2分)当n6时，集合M每个元素出现了次，140，(3分)所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了，故Sn.(5分)(2) 证明：因为Sn，(7分)则S4S5Sn10()=. (10分)18
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