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高一学科竞赛试题（数学）第I卷（共60分）一、选择题（共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个选项，把答案填涂在答题卡上）设集合，则( ) A B C D 函数f（x）=的零点在区间（ ） A（1，0） B（0，1） C（1，2） D（2，3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 设是空间中的一个平面，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A若m，n，m，n，则 B若m，n，n，则/mC若/m，m，n，则/n D若m，n，则n/m是定义在上的奇函数，且当时，则函数的零点的个数是（ ）A. B. C D已知定义在上的函数()为偶函数记，则的大小关系为（ ）A B C D已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）A B C D已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增，若实数满足, 则的取值范围是（ ）A B C D若函数在区间内恒有，则函数的单调递增区间是（ ）A B C D已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）A B C D已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（ ）A B C D 第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置） 若，则 已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_若函数的值域为，则实数的取值范围为 .如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围为 三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分） （12分）设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围. （12分）如图所示，在四棱锥中，平面，又，且. （1）在网格中画出四棱准的正视图；（2）求证：平面平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值. 若不存在，请说明理由 （12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围. （12分）已知圆的方程为（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程 （12分）已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数（）判断奇偶性，并说明理由；（）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围 （14分）一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称.（1）求常数的值；（2）解方程：；（3）求证：. 高一学科竞赛试题答案（数学）第I卷（共60分）一、选择题 DBACC BBCAA CB第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）17、（12分）答案（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以， -2分， . -5分（2） -8分， -10分，. -12分18、（12分）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）解：四棱准的正视图如图所示. -4分（2）证明：因为 平面，平面， 所以 . 因为 ，平面，平面， 所以平面. 因为 平面，所以 平面平面. -8分（3）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面. 因为 ，所以 ，即.所以 . 所以. 因为平面，平面，所以 平面. -12分19、（12分）答案（1），；（2）【解析】（1） -2分函数最小正周期是, -4分解得，函数单调递增区间为-6分（2），的最小值1，-9分由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为-12分20、（12分）【答案】（1）和；（2）或；（3）【解析】（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，则由，得，从而所求的切线方程为和-4分（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意：当直线不垂直于轴时，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，从而，得，此时直线方程为，综上所述，所求直线方程为或-8分（3）设点的坐标为，点坐标是，所以，点的轨迹方程是 -12分 21、（12分）【答案】（）是上的奇函数；（）.【解析】（），是上的奇函数； -3分（）由题意知是上的增函数（需要证明），-6分 则，- 8分，因为，则当时取最小值,-12分 22、（14分）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）的定义域为，由题意有恒成立，又，-4分（2）由（1）知：，-6分令，则原方程变为：，解之得或，当时，无解；-8分当时，.-10分（3）由（1）知，法1：设g(n)=可写成，两式相加得，所以-14分
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