八年级数学下学期期末试卷（含解析） 苏科版 (2)

江苏省南京市玄武区2015-2016学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2使分式有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx=1Cx1Dx13下列说法中，正确的是（）A“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查4（若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，则y1与y2的大小关系是（）Ay1y2By1=y2Cy1y2D无法确定5下列各式计算正确的是（）A +=B2=C =D=6如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出以下4个结论：FPD是等腰直角三角形；AP=EF；AD=PD；PFE=BAP其中，所有正确的结论是（）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7要使有意义，则x的取值范围是_8若分式的值为零，则x=_9计算的结果是_10已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3），则m的值为_11如图，转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数字1、2、3，4、5、6、7、8，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件：指针落在标有5的区域；指针落在标有10的区域；指针落在标有奇数的区域；指针落在能被3整除的区域其中，发生可能性最大的事件是_（填写序号）12已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x0，y0），则y与x的函数表达式为_13如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，OAB的周长是18cm，则EF=_cm14已知等式=，对任意正整数n都成立计算： +=_15如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），对角线的交点为P，反比例函数y=（k0）的图象经过点P，与边BA、BC分别交于点D、E，连接OD、OE、DE，则ODE的面积为_16设函数y=x2与y=的图象的交点坐标为（m，n），则的值为_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解分式方程： =18计算：（1）（a0）；（2）（23）19先化简，然后从1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值20在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_；（精确到0.1）（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？21某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是_；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数22小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数y（度）是镜片焦距x（厘米）（x0）的反比例函数，调查数据如表：眼镜片度数y（度）40062580010001250镜片焦距x（厘米）251612.5108（1）求y与x的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距23著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为 （）n（）n（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为 （）8（）8根据以上材料，写出并计算：（1）这个数列的第1个数；（2）这个数列的第2个数24如图，在ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，ABC的平分线交AD于点F（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=5，BF=8，AD=，则ABCD的面积是_25 “五一”期间，某商铺经营某种旅游纪念品该商铺第一次批发购进该纪念品共花费3 000元，很快全部售完接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费9000元已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%（1）求第一次购进该纪念品的进价是多少元？（2）若该纪念品的两次售价均为9元/个，两次所购纪念品全部售完后，求该商铺两次共盈利多少元？26如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y=的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90到点A（1）若点A的坐标为（4，2）求k的值；在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得AOP是等腰三角形且AOP是顶角，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）当k=1，点B在反比例函数y=的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式27（1）方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；第二步证明ADECFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DEBC，DE=BC（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，GEF=90，求GF的长（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，A=105，D=120，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2，GEF=90，求GF的长2015-2016学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故选B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2使分式有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx=1Cx1Dx1【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解【解答】解：根据题意得：x10，解得：x1故选：A【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键3下列说法中，正确的是（）A“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可【解答】解：A“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；B某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；C神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；D解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确故选：D【点评】本题考查了调查的方式和事件的分类不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，则y1与y2的大小关系是（）Ay1y2By1=y2Cy1y2D无法确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合点A、B的横坐标，求出y1、y2的值，二者进行比较即可得出结论【解答】解：A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，1y1=1，2y2=1，解得：y1=1，y2=，1，y1y2故选C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是关键5下列各式计算正确的是（）A +=B2=C =D=【考点】二次根式的混合运算【分析】根据二次根式的加减法则对A、B进行判断，根据二次根式的性质对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、2=，故本选项正确；C、=，故故本选项错误；D、=，故本选项错误故选B【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握加减乘除法则和二次根式的性质是解答此题的关键6如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出以下4个结论：FPD是等腰直角三角形；AP=EF；AD=PD；PFE=BAP其中，所有正确的结论是（）ABCD【考点】四边形综合题【分析】用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定正确；直接用正方形的性质和垂直得出正确，利用全等三角形和矩形的性质得出正确，由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出错误【解答】解：如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PA=PC，C=90，过点P作PEBC于点E，PFCD，PEC=DFP=PFC=C=90，四边形PECF是矩形，PC=EF，PA=EF，故正确，BD是正方形ABCD的对角线，ABD=BDC=DBC=45，PFC=C=90，PFBC，DPF=45，DFP=90，FPD是等腰直角三角形，故正确，在PAB和PCB中，PABPCB，BAP=BCP，在矩形PECF中，PFE=FPC=BCP，PFE=BAP故正确，点P是正方形对角线BD上任意一点，AD不一定等于PD，只有BAP=22.5时，AD=PD，故错误，故选C【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7要使有意义，则x的取值范围是x3【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式的性质知，被开方数大于或等于0，据此可以求出x的范围【解答】解：根据题意得：x30，解得：x3；故答案是：x3【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义8若分式的值为零，则x=1【考点】分式的值为零的条件【分析】直接利用分式的值为0，则分子为零，且分母不为零，进而求出答案【解答】解：由题意得：x21=0，且x10，解得：x=1，故答案为：1【点评】此题主要考查了值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少9计算的结果是【考点】二次根式的加减法【分析】首先把代数式中的二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可【解答】解：原式=，故答案为：【点评】此题主要考查了二次根式的减法，关键是掌握计算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变10已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3），则m的值为3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】此题可根据反比例函数图象上点的横纵坐标是一个定值即可求解【解答】解：反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3），k=xy=23=6，2m=6，m=3故答案为：3【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单，容易掌握11如图，转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数字1、2、3，4、5、6、7、8，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件：指针落在标有5的区域；指针落在标有10的区域；指针落在标有奇数的区域；指针落在能被3整除的区域其中，发生可能性最大的事件是（填写序号）【考点】可能性的大小【分析】确定指针落在标有数字的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向指针落在标有数字部分的概率【解答】解：指针落在标有5的区域的概率=；指针落在标有10的区域的概率=0；指针落在标有奇数的区域的概率=；指针落在能被3整除的区域的概率=，故答案为：【点评】此题考查可能性问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比12已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x0，y0），则y与x的函数表达式为y=【考点】菱形的性质【分析】由菱形的两条对角线长分别为x和y，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案【解答】解：菱形的两条对角线长分别为x和y，它的面积为：xy=5即y=故答案为：y=【点评】此题考查了菱形的性质注意菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键13如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，OAB的周长是18cm，则EF=3cm【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理【分析】首先由ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求得OA=AB，OB=BD，又由AC+BD=24cm，可求得OA+OB的长，继而求得AB的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OA=AC，OB=BD，AC+BD=24cm，OA+OB=12cm，OAB的周长是18cm，AB=6cm，点E，F分别是线段AO，BO的中点，EF=AB=3cm故答案为：3【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质注意由平行四边形的性质求得AB的长是关键14已知等式=，对任意正整数n都成立计算： +=【考点】分式的化简求值【分析】利用等式=把原式化为=1+，然后合并后进行通分即可【解答】解：原式=1+=1=故答案为【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式15如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），对角线的交点为P，反比例函数y=（k0）的图象经过点P，与边BA、BC分别交于点D、E，连接OD、OE、DE，则ODE的面积为【考点】反比例函数系数k的几何意义【分析】根据矩形的性质可以找出点B、P的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再分别代入x=4、y=2即可得出点D、E的坐标，利用分割图形求面积法即可得出结论【解答】解：四边形OABC是矩形，且A（4，0）、C（0，2），B（4，2），点P为对角线的交点，P（2，1）反比例函数y=的图象经过点P，k=21=2，反比例函数解析式为y=令y=中x=4，则y=，D（4，）；令y=中y=2，则x=1，E（1，2）SODE=S矩形OABCSOCESOADSBDE=OAOCkkBDBE=故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例系数k的几何意义，解题的关键是求出反比例函数解析式以及点B、D、E的坐标本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法是关键16设函数y=x2与y=的图象的交点坐标为（m，n），则的值为【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】有两函数的交点为（m，n），将（m，n）代入一次函数与反比例函数解析式中得到mn与nm的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：函数y=x2与y=的图象的交点坐标为（m，n），nm=2，mn=3，=，故答案为【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式的加减运算，求出mn与nm的值是解本题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解分式方程： =【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：1=x13x+6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键18计算：（1）（a0）；（2）（23）【考点】二次根式的混合运算【分析】（1）根据二次根式的乘法法则得出即可；（2）可以把二次根式化简，合并括号里同类二次根式，再做乘法；也可以用分配律计算；【解答】解：（1）原式=4a2（2）原式=（2）=3【点评】主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律19先化简，然后从1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值【考点】分式的化简求值【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可【解答】解：原式=，当x=1时，原式=【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助20在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；（精确到0.1）（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【考点】利用频率估计概率【分析】（1）计算出其平均值即可；（2）概率接近于（1）得到的频率；（3）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解【解答】解：（1）摸到白球的频率为0.6，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6；（2）摸到白球的频率为0.6，假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6，故答案为：0.6；（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有4024=16，400.6=24【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率21某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是100；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数；（2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量；（3）用全校学生数喜欢剪纸的学生在样本中所占百分比即可求出【解答】解：（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，女生总人数为：1020%=50（人），女生中喜欢舞蹈的人数为：501016=24（人），如图所示：（2）本次抽样调查的样本容量是：30+6+14+50=100；（3）样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，估计全校学生中喜欢剪纸的人数=1200=360人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数y（度）是镜片焦距x（厘米）（x0）的反比例函数，调查数据如表：眼镜片度数y（度）40062580010001250镜片焦距x（厘米）251612.5108（1）求y与x的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距【考点】反比例函数的应用【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可【解答】解：（1）根据题意得：与x之积恒为10000，则函数的解析式是y=；（2）令y=500，则500=，解得：x=20即该镜片的焦距是20cm【点评】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键23著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为 （）n（）n（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为 （）8（）8根据以上材料，写出并计算：（1）这个数列的第1个数；（2）这个数列的第2个数【考点】二次根式的应用【分析】（1）把n=1代入式子化简求得答案即可（2）把n=2代入式子化简求得答案即可【解答】解：（1）第1个数，当n=1时，（）=1；（2）第2个数，当n=2时， （）2（）2=（+）（）=1=1【点评】此题考查二次根式的混合运算、化简求值以及应用，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键24如图，在ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，ABC的平分线交AD于点F（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=5，BF=8，AD=，则ABCD的面积是36【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明BAE=BEA，从而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AFBE可得四边形ABEF是菱形；（2）过A作AHBE，根据菱形的性质可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AEBF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后可得ABCD的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAE=AEB，BAD的平分线交BC于点E，DAE=BEA，BAE=BEA，AB=BE，同理：AB=AF，AF=BE，AFBE，四边形ABEF是平行四边形，AB=AF四边形ABEF是菱形（2）解：过A作AHBE，四边形ABCD是菱形，AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AEBF，BF=8，BO=4，AO=3，AE=6，S菱形ABEF=AEBF=68=24，BEAH=24，AH=，四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=，S平行四边形ABCD=36，故答案为：36【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定，以及平行四边形的性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的面积为对角线之积的一半25 “五一”期间，某商铺经营某种旅游纪念品该商铺第一次批发购进该纪念品共花费3 000元，很快全部售完接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费9000元已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%（1）求第一次购进该纪念品的进价是多少元？（2）若该纪念品的两次售价均为9元/个，两次所购纪念品全部售完后，求该商铺两次共盈利多少元？【考点】分式方程的应用【分析】（1）设第一次所购该纪念品是多少元，由题意可列方程求解（2）求出两次的购进数，根据利润=售价进价，可求出结果【解答】解：（1）设第一次所购该纪念品是x元，依题意，得，解得，x=5，经检查，x=5是原方程的解答：第一次购进该纪念品的进价为5元；（2）第一次购进：30005=600，第二次购进：90006=1500，获利；（600+1500）930009000=6900元，答：该商铺两次共盈利6900元【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键26如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y=的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90到点A（1）若点A的坐标为（4，2）求k的值；在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得AOP是等腰三角形且AOP是顶角，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）当k=1，点B在反比例函数y=的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式【考点】反比例函数综合题【分析】（1）过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，通过同角的余角相等结合旋转的性质即可证出BOFOAE，根据全等三角形的性质找出相等边，再结合点A的坐标以及点B所在的位置即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；假设存在，设点P的坐标为（m，n），根据等腰三角形的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出点P的坐标；（2）设点B的坐标为（a，b），由（1）可知点A的坐标为（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论【解答】解：（1）过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，如图1所示BFx轴，AEx轴，BFO=OEA=90，OBF+BOF=90，BOF+AOE=90，OBF=AOE在BOF和OAE中，有，BOFOAE（AAS），OF=AE，BF=OE点A（4，2），点B（2，4）点B在反比例函数y=的图象上，k=24=8假设存在，设点P的坐标为（m，n），AOP是等腰三角形且AOP是顶角，OA=OP又点P在反比例函数y=的图象上，解得：，故在反比例函数y=的图象上存在一点P，使得AOP是等腰三角形且AOP是顶角，点P的坐标为（4，2），（2，4），（2，4）或（4，2）（2）设点B的坐标为（a，b），由（1）可知点A的坐标为（b，a），k=1，且点B在反比例函数y=的图象上运动，ab=1，b（a）=ab=1，点A在y=上运动【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）找出点B的坐标；找出关于m、n的二元二次方程组；（2）根据点B的坐标表示出点A的坐标本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的特性，由点B的坐标找出点A的坐标是关键27（1）方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；第二步证明ADECFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DEBC，DE=BC（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，GEF=90，求GF的长（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，A=105，D=120，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2，GEF=90，求GF的长【考点】四边形综合题【分析】（1）延长GE、FD交于点H，可证得AEGDEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；（2）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明AEGDEH，结合条件可得到HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在RtHFP中，可求得HF，则可求得GF的长【解答】解：（1）如图2，延长GE、FD交于点H，E为AD中点，EA=ED，且A=EDH=90，在AEG和DEH中AEGDEH（ASA），AG=HD=2，EG=EH，GEF=90，EF垂直平分GH，GF=HF=DH+DF=2+3=5；（2）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知AEGDEH，GF=HF，A=HDE=105，AG=HD=3，ADC=120，HDF=360105120=135，HDP=45，PDH为等腰直角三角形，PD=PH=，PF=PD+DF=+2=，在RtHFP中，HPF=90，HP=，PF=，HF=，GF=【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中构造三角形全等，巧妙利用好105和120角是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大