八年级数学下学期期末试卷（含解析） 北师大版

江西省吉安市吉州区2015-2016学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分。每小题只有一个正确选项）1不等式2x13的解集为（）Ax2Bx1Cx1Dx22下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD3分式方程=的解为（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=94如图所示，在ABC中，AC=BC，C=90，AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，若AB=6cm，则DEB的周长为（）A12cmB8cmC6cmD4cm5如图，已知在平行四边形ABCD中，AEBC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于ABC，把BAE顺时针旋转，得到BAE，连接DA，若ADC=60，ADA=50，则DAE的大小为（）A130B150C160D1706一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：当x3时，y10；当x3时，y20；当x3时，y1y2中，正确的个数是（）A0B1C2D3二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7如果分式有意义，那么x的取值范围是_8如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则1+2+3+4+5=_9阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段AB（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是_10分解因式（ab）（a4b）+ab的结果是_11如图，四边形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_12在同一平面内，已知点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC的度数为_三、解答题（共5小题，每小题6分，满分30分）13解不等式组，并写出它的所有整数解请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式，得_（2）解不等式，得_；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式的解集为_（5）则不等式组的所有整数解为：_14如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC上边的中线，BEAC于点E，求证：CBE=BAD15先化简：（1），再选择一个恰当的x值代入求值16在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解17已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE求证：DEBE四、解答题（共4小题，每小题8分，满分32分）18为解决“最后一公里”的交通接驳问题，某市投放了大量公租自行车使用，到2014年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2016年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2014年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍，预计到2016年底，全市将有租赁点多少个？19如图1，ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）20ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）21小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0a20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？五、解答题（共1小题，满分10分）22（10分）（2015重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”再如：33，181，212，4664，都是“和谐数”（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式六、解答题（共1小题，满分12分）23（12分）（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）2015-2016学年江西省吉安市吉州区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分。每小题只有一个正确选项）1不等式2x13的解集为（）Ax2Bx1Cx1Dx2【考点】解一元一次不等式【分析】不等式移项合并，把x形式化为1，即可求出解集【解答】解：不等式移项合并得：2x4，解得：x2，故选D【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键2下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心3分式方程=的解为（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=9【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x=3x9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选D【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根4如图所示，在ABC中，AC=BC，C=90，AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，若AB=6cm，则DEB的周长为（）A12cmB8cmC6cmD4cm【考点】等腰直角三角形；角平分线的性质【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由角平分线的性质得出DE=CD，进而可得出结论【解答】解：在ABC中，AC=BC，C=90，AB=6cm，BC2+AC2=AB2，即2BC2=36，解得BC=AC=3cmAD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，CD=DE在RtACD与RtAED中，RtACDRtAED（HL），AE=AC=3cm，BE=ABAE=（63）cm，DEB的周长=（BD+DE）+BE=BC+BE=3+63=6cm故选C【点评】本题考查的是等腰直角三角形，先根据题意得出BC的长是解答此题的关键5如图，已知在平行四边形ABCD中，AEBC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于ABC，把BAE顺时针旋转，得到BAE，连接DA，若ADC=60，ADA=50，则DAE的大小为（）A130B150C160D170【考点】旋转的性质；平行四边形的性质【分析】根据平行四边形对角相等得ABC=60，由平行同旁内角互补得BAD=130，由旋转得BAE=30，两角相加可得结论【解答】解：在ABCD中，ADBC，BAD=180ADA=18050=130，ADC=60，ABC=ADC=60，在RtAEB中，BAE=9060=30，由旋转得：BAE=BAE=30，DAE=130+30=160；故选C【点评】本题考查了旋转和平行四边形的性质，难度不大，所求的角不能直接求出时，可将此角分成两个角来求；利用平行四边形对边平行和对角相等解决问题；同时，还运用了旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，则对应角相等得出角的大小关系6一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：当x3时，y10；当x3时，y20；当x3时，y1y2中，正确的个数是（）A0B1C2D3【考点】一次函数与一元一次不等式【分析】根据一次函数图象的位置进行判断，从函数图象来看，就是确定直线y=kx+b是否在在x轴上（或下）方【解答】解：根据图象可知：当x3时，一次函数y1=kx+b的图象在x轴上方，故y10；当x3时，一次函数y2=x+a的图象一部分在x轴上方，一部分在x轴下方，故y20或y2=0或y20；当x3时，一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的下方，故y1y2，所以正确的有和故选（C）【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7如果分式有意义，那么x的取值范围是x3【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案【解答】解：由题意得，x+30，即x3，故答案为：x3【点评】本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零8如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则1+2+3+4+5=360【考点】多边形内角与外角【分析】首先根据图示，可得1=180BAE，2=180ABC，3=180BCD，4=180CDE，5=180DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用1805减去五边形ABCDE的内角和，求出1+2+3+4+5等于多少即可【解答】解：1+2+3+4+5=（180BAE）+（180ABC）+（180BCD）+（180CDE）+（180DEA）=1805（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA）=900（52）180=900540=360故答案为：360【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n2）180 （n3）且n为整数）（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为3609阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段AB（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质【分析】直接利用作图方法得出C点到A，B点距离相等，D点到A，B点距离相等，即可得出直线CD垂直平分AB【解答】解：小芸的作图依据是：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上故答案为：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键10分解因式（ab）（a4b）+ab的结果是（a2b）2【考点】因式分解-运用公式法【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：（ab）（a4b）+ab=a25ab+4b2+ab=a24ab+4b2=（a2b）2故答案为：（a2b）2【点评】此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键11如图，四边形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3【考点】三角形中位线定理；勾股定理【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3【解答】解：ED=EM，MF=FN，EF=DN，DN最大时，EF最大，N与B重合时DN最大，此时DN=DB=6，EF的最大值为3故答案为3【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键12在同一平面内，已知点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC的度数为15或30或60或75或150【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质【分析】根据点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，找出点P的位置，求得APC的度数即可【解答】解：根据点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：AP1C=15，AP2C=30，AP3C=60，AP4C=75，AP5C=150故答案为：15或30或60或75或150【点评】本题主要考查了等边三角形以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是根据题意画出图形进行求解，注意分类思想的运用三、解答题（共5小题，每小题6分，满分30分）13解不等式组，并写出它的所有整数解请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式，得x3（2）解不等式，得x5；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式的解集为3x5（5）则不等式组的所有整数解为：3，4，5【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组【分析】（1）根据不等式的性质求出即可；（2）根据不等式的性质求出即可；（3）把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（4）根据数轴求出不等式组的解集即可；（5）根据不等式组的解集求出不等式组的整数解即可【解答】解：（1）解不等式得：x3，故答案为：x3；（2）解不等式得：x5，故答案为：x5；（3）把不等式和的解集在数轴上表示为：；（4）所以原不等式组的解集为3x5，故答案为：3x5；（5）不等式组的所有整数解为3，4，5，故答案为：3，4，5【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键14如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC上边的中线，BEAC于点E，求证：CBE=BAD【考点】等腰三角形的性质【分析】根据三角形三线合一的性质可得CAD=BAD，根据同角的余角相等可得：CBE=CAD，再根据等量关系得到CBE=BAD【解答】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC，CBE+C=CAD+C=90，CAD=BAD，CBE=BAD【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及余角的知识，解题要注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合15先化简：（1），再选择一个恰当的x值代入求值【考点】分式的化简求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2代入计算即可求出值【解答】解：原式=（）=x+1，当x=2时，原式=2+1=1【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键16在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解【考点】因式分解的应用；整式的加减【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解本题答案不唯一【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；方法三：（x2+2xy）（y2+2xy）=x2y2=（x+y）（xy）；方法四：（y2+2xy）（x2+2xy）=y2x2=（y+x）（yx）【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解17已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE求证：DEBE【考点】平行四边形的性质【分析】先根据平行四边形的性质，得出OD=OB，再根据OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根据三角形内角和定理，求得OEB+OED=90，即可得出结论【解答】证明：平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OD=OB，又OE=OB，OE=OB=OD，OBE=OEB，ODE=OED，又OBE+OEB+ODE+OED=180，OEB+OED=90，DEBE【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是运用三角形内角和定理进行计算，求得BED的度数四、解答题（共4小题，每小题8分，满分32分）18为解决“最后一公里”的交通接驳问题，某市投放了大量公租自行车使用，到2014年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2016年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2014年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍，预计到2016年底，全市将有租赁点多少个？【考点】分式方程的应用【分析】根据租赁点的公租自行车数量变化表示出2014年和2016年平均每个租赁点的公租自行车数量，进而得出等式求出即可【解答】解：设到2016年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：1.2=，解得：x=1000，经检验得：x=1000是原方程的根，答：到2016年底，全市将有租赁点1000个【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键19如图1，ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到ADBC，根据平行四边形的性质得到EAO=FCO，证出OAEOCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAO=FCO，在OAE与OCF中，OAEOCF，OE=OF，同理OG=OH，四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC，四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，EF过点O，GH过点O，OE=OF，OG=OH，GBCH，ABFE，EFCD，EGFH，ACHD它们面积=ABCD的面积，与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键20ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换【分析】（1）延长AC到A1，使得AC=A1C1，延长BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出图象；（2）根据A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出A2B2C2；（3）作出A1关于x轴的对称点A，连接AC2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可【解答】解；（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A，连接AC2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握21小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0a20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）设购进甲种服装x件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出结论；（2）找出利润w关于购进甲种服装x之间的关系式，分a的情况讨论【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100x）7500，解得：x75答：甲种服装最多购进75件（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65x75，w=（12080a）x+（9060）（100x）=（10a）x+3000，方案1：当0a10时，10a0，w随x的增大而增大，所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a=10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10a20时，10a0，w随x的增大而减少，所以当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件【点评】本题考查了一次函数的应用与解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据题意列出关于x的一元一次不等式；（2）找出利润w关于购进甲种服装x的关系式，由函数的性质分a的情况讨论本题属于中档题，（1）难度不大，（2）需要分a的情况讨论五、解答题（共1小题，满分10分）22（10分）（2015重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”再如：33，181，212，4664，都是“和谐数”（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式【考点】因式分解的应用；规律型：数字的变化类；函数关系式【分析】（1）根据“和谐数”写出四个四位数的“和谐数”；设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则这个四位数为a103+b102+b10+a=1001a+110b，利用整数的整除得到=91a+10b，由此可判断任意四位数“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则这个三位数为x102+y10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根据整数的整除性得到2xy=0，于是可得y与x的关系式【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则a103+b102+b10+a=1001a+110b，=91a+10b四位数“和谐数”abba能被11整数；任意四位数“和谐数”都可以被11整除（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x102+y10+x=101x+10y，=9x+y+，1x4，101x+10y能被11整除，2xy=0，y=2x（1x4）【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题灵活利用整数的整除性六、解答题（共1小题，满分12分）23（12分）（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【分析】（1）如图1，易求得B=60，BED=90，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在RtBMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BECF）【解答】解：（1）如图1，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，B=C=60，BC=AC=AB=4点D是线段BC的中点，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2=1；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=（BECF）【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键