九年级数学上学期期中试卷（含解析） 新人教版2 (12)

2015-2016学年重庆市江津区三校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2方程x2=1的解是（）Ax=1Bx1=1，x2=1Cx1=0，x2=1Dx=13下列各式中，y是x的二次函数的是（）Ay=mx2+1（m0）By=ax2+bx+cCy=（x2）2x2Dy=3x14抛物线y=（x+1）22的对称轴是（）A直线x=1B直线x=3C直线x=1D直线x=35如图，已知AOB是正三角形，OCOB，OC=OB，将OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到OCD，则旋转的角度是（）A150B120C90D606下列所给的方程中，没有实数根的是（）Ax2+x=0B5x24x1=0C3x24x+1=0D4x25x+2=07已知关于x的方程x2kx6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A1B1C2D28九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）Ax（x+1）=5112Bx（x1）=5112Cx（x+1）=51122Dx（x1）=511229在同一直角坐标系中，函数y=kx2k和y=kx+k（k0）的图象大致是（）ABCD10将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1在图2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A6B5C3D211已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为x=2下列结论中正确的是（）Aabc0B5a+c0C4ab=0D9a+3b+c012如图，O是等边ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150； 四边形AO BO的面积为6+3； SAOC+SAOB=6+其中正确的结论是（）ABCD二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2xm2+1=0的一个根为0，则m的值14抛物线y=x2+（b+1）x3的顶点在y轴上，则b的值为15若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个实数根，则k的取值范围是16如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90得到矩形ODEF，则E的坐标为17已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c0的解集是18如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x0）与y2=（x0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DEAC，交y2于点E，则=三、解答题（本大题2个小题，共14分）19如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系（1）以原点O为对称中心，画出与ABC关于原点O对称的A1B1C1，并写出A1的坐标 （2）将原来的ABC绕着点B顺时针旋转90得到A2B2C2，试在图上画出A2B2C2的图形20已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根四、解答题（本大题4个小题，共10分）21解方程：（1）（x2）2=2x（2）（3x2）2=（4x）222先化简，再求值：（a1），其中a是方程x2+x3=0的解23在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润24操作：如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角：（1）角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明（2）若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点，连接MN在图中画出图形，再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系五、解答题（本大题2个小题，共24分）25小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10）与y=a2x2+b2x+c2（a20）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x23x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x23x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（1）直接写出函数y=x23x2的“旋转函数”；（2）若函数y=x2+mx3与y=x23nx+n互为“旋转函数”，求的值；（3）已知函数y=（x+1）（x4）的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数”26已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年重庆市江津区三校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确故选D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2方程x2=1的解是（）Ax=1Bx1=1，x2=1Cx1=0，x2=1Dx=1【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】直接利用开平方法解方程得出即可【解答】解：x2=1解得：x1=1，x2=1故选：B【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键3下列各式中，y是x的二次函数的是（）Ay=mx2+1（m0）By=ax2+bx+cCy=（x2）2x2Dy=3x1【考点】二次函数的定义【分析】根据形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常数）是二次函数，可得答案【解答】解：A、是二次函数，故A正确；B、当a=0时，函数是一次函数，故B错误；C、化简，得y=2x+4是一次函数，故C错误；D、y=3x1是一次函数，故D错误；故选：A【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，注意二次函数的二次项的系数不能等于零4抛物线y=（x+1）22的对称轴是（）A直线x=1B直线x=3C直线x=1D直线x=3【考点】二次函数的性质【分析】由抛物线的顶点式可得到抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线的对称轴【解答】解：抛物线y=（x+1）22的顶点坐标为（1，2），抛物线的对称轴是x=1故选C【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标、对称轴，属于基本题，应熟练掌握5如图，已知AOB是正三角形，OCOB，OC=OB，将OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到OCD，则旋转的角度是（）A150B120C90D60【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形【分析】AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解【解答】解：旋转角AOC=AOB+BOC=60+90=150故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键6下列所给的方程中，没有实数根的是（）Ax2+x=0B5x24x1=0C3x24x+1=0D4x25x+2=0【考点】根的判别式【分析】分别计算出判别式=b24ac的值，然后根据的意义分别判断即可【解答】解：A、=12410=10，所以方程有两个不相等的实数根；B、=（4）245（1）=360，所以方程有两个不相等的实数根；C、=（4）2431=40，所以方程有两个不相等的实数根；D、=（5）2442=70，所以方程没有实数根故选D【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根7已知关于x的方程x2kx6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A1B1C2D2【考点】一元二次方程的解【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即323k6=0成立，解得k=1故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义8九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）Ax（x+1）=5112Bx（x1）=5112Cx（x+1）=51122Dx（x1）=51122【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了5112张可列出方程【解答】解：全班有x名同学，每名同学要送出贺卡（x1）张；又是互送贺卡，总共送的张数应该是x（x1）=5112故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就像总线段条数，人数类似线段端点数9在同一直角坐标系中，函数y=kx2k和y=kx+k（k0）的图象大致是（）ABCD【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k0，此时二次函数y=kx2kx的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=kx+k图象可知，k0，此时二次函数y=kx2kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D、正确故选：D【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标10将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1在图2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A6B5C3D2【考点】规律型：图形的变化类【专题】压轴题【分析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步变换【解答】解：根据题意可知连续3次变换是一循环所以103=31所以是第1次变换后的图形故选B【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的11已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为x=2下列结论中正确的是（）Aabc0B5a+c0C4ab=0D9a+3b+c0【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】数形结合【分析】由抛物线的对称轴x=2可得4a+b=0；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴可得c0，由抛物线的对称轴x=20可得ab0，则abc0；由图可知由于抛物线与x轴的左交点在2到1之间，根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的右交点在5到6之间，因而当x=3时，y=9a+3b+c0，当x=1时，y=ab+c0，结合4a+b=0可得5a+c0【解答】解：由抛物线的对称轴x=2可得4a+b=0，故C错误；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴可得c0，由抛物线的对称轴x=20可得ab0，则abc0，故A错误；由于抛物线与x轴的左交点在2到1之间，根据抛物线的轴对称性可得：抛物线与x轴的右交点在5到6之间，因而当x=3时，y=9a+3b+c0，故D错误；当x=1时，y=ab+c0，由4a+b=0即b=4a可得，a（4a）+c0，则5a+c0，故B正确故选B【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，运用数形结合的思想是解决本题的关键12如图，O是等边ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150； 四边形AO BO的面积为6+3； SAOC+SAOB=6+其中正确的结论是（）ABCD【考点】几何变换综合题【分析】证明BOABOC，又OBO=60，所以BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，故结论正确；由OBO是等边三角形，可知结论正确；在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故AOO是直角三角形；进而求得AOB=150，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO=6+4，故结论错误；如图，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将SAOC+SAOB转化为SCOO+SAOO，计算可得结论正确【解答】解：由题意可知，1+2=3+2=60，1=3，又OB=OB，AB=BC，在BOA和BOC中，BOABOC（SAS），又OBO=60，BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，故结论正确；如图，连接OO，OB=OB，且OBO=60，OBO是等边三角形，OO=OB=4故结论正确；BOABOC，OA=5在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，AOO是直角三角形，AOO=90，AOB=AOO+BOO=90+60=150，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO=34+42=6+4，故结论错误；如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形，则SAOC+SAOB=S四边形AOCO=SCOO+SAOO=34+32=6+，故结论正确综上所述，正确的结论为：故选：C【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点在判定结论时，将AOB向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2xm2+1=0的一个根为0，则m的值1【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m+10【解答】解：把x=0代入（m+1）x2+2xm2+1=0，得m2+1=0，解得m=1或m=1又m+10则m1故m=1故答案是：1【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义注意：本题中所求得的m的值必须满足：m+10这一条件14抛物线y=x2+（b+1）x3的顶点在y轴上，则b的值为1【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】由抛物线的顶点在y轴上可得顶点的横坐标为0，即=0，就可求出b的值【解答】解：由题可得： =0，解得b=1故答案为1【点评】本题考查的是y轴上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标公式，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），应熟练掌握15（2015泗洪县校级模拟）若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个实数根，则k的取值范围是k1且k0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可【解答】解：关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个实数根，解得k1且k0故答案为：k1且k0【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac的关系是解答此题的关键16如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90得到矩形ODEF，则E的坐标为（4，2）【考点】坐标与图形变化-旋转【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得OD=OA，OF=OC，再根据点E在第一象限写出点E的坐标即可【解答】解：矩形OABC绕着原点顺时针旋转90得到矩形ODEF，OD=OA=4，OF=OC=2，又点E在第一象限，点E的坐标为（4，2）故答案为：（4，2）【点评】题考查了坐标与图形变化旋转，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键17已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c0的解集是1x3【考点】二次函数与不等式（组）【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论【解答】解：由函数图象可知，当1x3时，函数图象在x轴的下方，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3故答案为：1x3【点评】本题考查的是二次函数与不等式式，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键18如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x0）与y2=（x0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DEAC，交y2于点E，则=5【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CDy轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a0），则x2=a，解得x=，点B（，a），=a，则x=，点C（，a），BC=CDy轴，点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，y1=（）2=5a，点D的坐标为（，5a）DEAC，点E的纵坐标为5a，=5a，x=5，点E的坐标为（5，5a），DE=5，=5故答案是：5【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键三、解答题（本大题2个小题，共14分）19如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系（1）以原点O为对称中心，画出与ABC关于原点O对称的A1B1C1，并写出A1的坐标 （2）将原来的ABC绕着点B顺时针旋转90得到A2B2C2，试在图上画出A2B2C2的图形【考点】作图-旋转变换；关于原点对称的点的坐标【专题】作图题【分析】（1）连接AO并延长至A1，使A1O=AO，连接BO并延长至B1，使B1O=BO，连接CO并延长至C1，使C1O=CO，然后顺次连接A1、B1、C1即可得到A1B1C1；再根据平面直角坐标系的特点写出点A1的坐标即可；（2）根据旋转变换先找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求三角形，点A1的坐标是A1（6，1）；（2）A2B2C2即为所求作的三角形【点评】本题考查了利用关于原点对称作图与利用旋转变换作图，准确找出对应点的坐标位置是解题的关键20已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根【考点】解一元二次方程-公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根【专题】计算题【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入方程计算即可求出解【解答】解： +|b+1|+（c+3）2=0，a=1，b=1，c=3，原方程为x2x3=0，这里a=1，b=1，c=3，x=【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键四、解答题（本大题4个小题，共10分）21解方程：（1）（x2）2=2x（2）（3x2）2=（4x）2【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题；一元二次方程及应用【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程开方转化为两个一元一次方程，求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：（x2）2+（x2）=0，分解因式得：（x2）（x2+1）=0，解得：x1=2，x2=1；（2）开方得：3x2=4x或3x2=x4，解得：x1=1.5，x2=1【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键22先化简，再求值：（a1），其中a是方程x2+x3=0的解【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程x2+x3=0的解得出a2+a=3，再代入原式进行计算即可【解答】解：原式=a是方程x2+x3=0的解，a2+a3=0，即a2+a=3，原式=【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键23在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润【考点】二次函数的应用【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润=每个许愿瓶的利润销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b图象过点（10，300），（12，240），解得故y与x 之间的函数关系为：y=30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=30x+600的图象上y与x之间的函数关系式为y=30x+600；（2）w=（x6）（30x+600）=30x2+780x3600即w与x之间的函数关系式为w=30x2+780x3600；（3）由题意得6（30x+600）900，解得x15w=30x2+780x3600图象对称轴为x=13，a=300，抛物线开口向下，当x15时，w随x增大而减小，当x=15时，w最大=1350即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元【点评】此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题24操作：如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角：（1）角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明（2）若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点，连接MN在图中画出图形，再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】（1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE，先证CDEBDM，再证DMNDEN；（2）在CA上截取CE=BM，连接DE，先证MBDECD，再证NMDNED；【解答】解：（1）MN=BM+CN如图1，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180ACD=180ABD=90，在CDE和BDM中，CDEBDM（SAS），CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDCMDN=12060=60，在DMN和DEN中，DMNDEN（SAS），MN=NE=CE+CN=BM+CN（2）MN=CNBM如图2，在CA上截取CE=BM，连接DE，在MBD和ECD中，MBDECD（SAS），DM=DE，MDB=EDC，MDN=MDB+BDN=CDE+BDN=60，EDN=60=MDN，在NMD和NED中，NMDNED（SAS），NE=MN，MN=CNCE=CNBM【点评】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，难度适中对于线段和差等式的证明，截长补短是关键五、解答题（本大题2个小题，共24分）25小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10）与y=a2x2+b2x+c2（a20）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x23x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x23x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（1）直接写出函数y=x23x2的“旋转函数”；（2）若函数y=x2+mx3与y=x23nx+n互为“旋转函数”，求的值；（3）已知函数y=（x+1）（x4）的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数”【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2=1，b2=3，c2=2，从而求出函数y=x23x2的“旋转函数”；（2）根据旋转函数的定义意得，从而得到m=15，n=3，进而求出求的值；（3）根据题意得A（1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），从而求出两个函数解析式，进而得到两个函数互为“旋转函数”【解答】解：（1）在y=x23x2中，a1=1，b1=3，c1=2，a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，a2=1，b2=3，c2=2，可得函数y=x23x2的“旋转函数”为y=x23x+2；（2）根据题意得，m=15，n=3（m+n）2015=（15）+32015=1，（3）题意得A（1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），又y=（x+1）（x4）即y=x2+x+2，经过点A1，B1，C1的二次函数为y=（x1）（x+4）=x2+x2，a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，两个函数互为“旋转函数”【点评】本题考查了二次函数综合题，熟悉待定系数法求函数解析式，明确确旋转函数的定义是解题的关键26已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）图，过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M，N设M（m，m3）则D（m，m2+2m3），然后求出DM的表达式，把S四边形ABCD分解为SABC+SACD，转化为二次函数求最值；（3）过点C作CP1x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形【解答】解：（1）OC=3OB，B（1，0），C（0，3）把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=3，抛物线的解析式y=x2+2x3（2）由A（3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x3，如图1，过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M，N设M（m，m3）则D（m，m2+2m3），DM=m3（m2+2m3）=m23m=（m+）2+，10，当x=时，DM有最大值，S四边形ABCD=SABC+SACD=43+3DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+=（3）存在讨论：如图2，过点C作CP1x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形C（0，3），令3=x2+2x3x1=2，x2=2P1（2，3）平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，C（0，3），可令P（x，3），3=x2+2x3，得x2+2x6=0解得x1=1+，x2=1，此时存在点P2（1+，3），P3（1，3），综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（2，3），P2（1+，3），P3（1，3）【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论