九年级数学上学期期中试卷（含解析） 苏科版 (4)

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1方程（x2）（x+3）=0的解是（）Ax=2Bx=3Cx1=2，x2=3Dx1=2，x2=32若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1且k0Ck1Dk1且k03学校组织才艺表演比赛，前6名获奖有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A众数B方差C中位数D平均数4如图，O是ABC的外接圆，OCB=40，则A的度数等于（）A60B50C40D305设、是方程x2+x2015=0的两个实数根，则+的值为（）A2015B2015C1D16如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）ABCD7一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A2BC1D8如图，在RtABC中，C=90，B=30，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是（）A相离B相切C相交D相切或相交9一张长方形桌子的长是150cm，宽是100cm，现在要设计一块长方形桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边宽是xcm根据题意，得（）A（150+x）（100+x）=1501002B（150+2x）（100+2x）=1501002C（150+x）（100+x）=150100D2（150x+100x）=15010010如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A2015B3019.5C3018D3024二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分，把答案填在相应横线上）11已知x=1是关于x的方程2x2ax+a=0的一个根，则a=12在RtABC中，ACB=90，BC=1，AB=2，则sinA=13如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则O的半径是cm14如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为15一个扇形半径30cm，圆心角120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为16小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5=17在RtABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心，r为半径，若要使C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是18如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，Pn，记纸板Pn的面积为Sn，试通过计算S1，S2，猜想得到Sn1Sn=（n2）三、解答题（本大题共10小题，共84分，写出必要的解题步骤和过程）19解方程（1）x2+3x4=0 （2）（x2）（x5）=120计算：（1）tan30sin60+cos230sin245cos60 （2）|3|+（）24cos3021为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育，某中学对本校学生课业负担情况进行调查在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，发现被抽查的学生中，每天完成课外作业时间，最长不足120分钟，没有低于40分钟的，且完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图，如图所示（1）这次被抽查的学生有人；（2）请补全频数分布直方图；（3）被调查这些学生每天完成课外作业时间的中位数在组（填时间范围）；（4）若该校共有3600名学生，请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在80分钟以上（包括80分钟）22如图所示，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交于BC于D，DEAC于E求证：DE是O的切线23如图，AB为O的直径，点C在O上，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，已知D=30（1）求A的度数；（2）若点F在O上，CFAB，垂足为E，CF=，求图中阴影部分的面积24如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？252013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素）26如图1，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s（1）求OAB的度数（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）是否存在RPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由27如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图，连接OA、AC，则OAC的度数为；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）28已知，如图，直线y=x4与x轴，y轴分别交于B、A，将该直线绕A点顺时针旋转，且tan=，旋转后与x轴交于C点（1）求A、B、C的坐标；（2）在x轴上找一点P，使有一动点能在最短的时间内从点A出发，沿着APC的运动到达C点，并且在AP上以每秒2个单位的速度移动，在PC上以每秒个单位移动，试用尺规作图找到P点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求出所用的最短时间t2016-2017学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1方程（x2）（x+3）=0的解是（）Ax=2Bx=3Cx1=2，x2=3Dx1=2，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x2）（x+3）=0，x2=0，x+3=0，x1=2，x2=3，故选D【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程2若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1且k0Ck1Dk1且k0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可【解答】解：关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，即，解得k1且k0故选B【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键3学校组织才艺表演比赛，前6名获奖有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A众数B方差C中位数D平均数【考点】统计量的选择【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有13名选手参加，故应根据中位数的意义分析【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了故选C【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用4如图，O是ABC的外接圆，OCB=40，则A的度数等于（）A60B50C40D30【考点】圆周角定理【分析】由OB=OC，根据等边对等角的性质，可求得OBC的度数，继而求得BOC的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案【解答】解：OB=OC，OBC=OCB=40，BOC=180OBCOCB=100，A=BOC=50故选B【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5设、是方程x2+x2015=0的两个实数根，则+的值为（）A2015B2015C1D1【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系，即可得出+的值，此题得解【解答】解：、是方程x2+x2015=0的两个实数根，+=1故选D【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为是解题的关键6如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理【专题】网格型【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答【解答】解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CDAB，在RtAOC中，CO=；AC=；则sinA=故选：B【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键7一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A2BC1D【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角【专题】压轴题【分析】先判断出多边形的边数，再求多边形的半径【解答】解：设多边形的边数为n因为正多边形内角和为（n2）180，正多边形外角和为360，根据题意得：（n2）180=3602，n2=22，n=6故正多边形为6边形边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2，故选A【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算8如图，在RtABC中，C=90，B=30，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是（）A相离B相切C相交D相切或相交【考点】直线与圆的位置关系【专题】压轴题【分析】作CDAB于点D根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断【解答】解：作CDAB于点DB=30，BC=4cm，CD=BC=2cm，即CD等于圆的半径CDAB，AB与C相切故选：B【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当Rd时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当Rd时，直线与圆相离9一张长方形桌子的长是150cm，宽是100cm，现在要设计一块长方形桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边宽是xcm根据题意，得（）A（150+x）（100+x）=1501002B（150+2x）（100+2x）=1501002C（150+x）（100+x）=150100D2（150x+100x）=150100【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】应用题【分析】设四周垂下的边宽度为xcm，求得桌布的面积，根据桌布面积是桌面的2倍列方程解答时即可【解答】解：设四周垂下的边宽度为xcm，桌布的长为（150+2x），宽为（100+2x），根据桌布面积是桌面的2倍可得：（150+2x）（100+2x）=1501002，故选B【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，解答此题的关键是求得桌布的长和宽，进一步运用长方形的面积解决问题10如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A2015B3019.5C3018D3024【考点】轨迹；矩形的性质；旋转的性质【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可【解答】解：AB=4，BC=3，AC=BD=5，转动一次A的路线长是： =2，转动第二次的路线长是： =，转动第三次的路线长是： =，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2=6，20164=504，顶点A转动四次经过的路线长为：6504=3024故选D【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分，把答案填在相应横线上）11已知x=1是关于x的方程2x2ax+a=0的一个根，则a=1【考点】一元二次方程的解【分析】把x=1代入方程，即可求出答案【解答】解：把x=1代入方程2x2ax+a=0得：2+a+a=0，解得：a=1，故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键12在RtABC中，ACB=90，BC=1，AB=2，则sinA=【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案【解答】解：sinA=，故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边13如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则O的半径是5cm【考点】垂径定理；勾股定理【专题】压轴题【分析】根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：在直角AOE中，AE=4cm，OE=3cm，根据勾股定理得到OA=5，则O的半径是5cm【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解14如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2【考点】切线长定理【专题】计算题【分析】由于AB、AC、BD是O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长【解答】解：AC、AP为O的切线，AC=AP，BP、BD为O的切线，BP=BD，BD=PB=ABAP=53=2故答案为：2【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键15一个扇形半径30cm，圆心角120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为10cm【考点】圆锥的计算【专题】计算题【分析】求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面半径【解答】解：扇形弧长为=20cm；设圆锥的底面圆半径为r，则r=10cm故答案为：10cm【点评】本题考查了圆锥的计算，要明确，扇形的弧长即为其围成圆锥的底面圆周长16小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5=1【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；解直角三角形【分析】根据翻折变换的性质得出AB=BE，AEB=EAB=45，AFB=22.5，进而得出tanAFB=tan22.5=得出答案即可【解答】解：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，AB=BE，AEB=EAB=45，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，AE=EF，EAF=EFA=22.5，设AB=x，则AE=EF=x，tanAFB=tan22.5=1故答案是：1【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出AFB=22.5以及AE=EF是解题关键17在RtABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心，r为半径，若要使C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是r=或6r8【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【解答】解：如图，斜边AB=10，直角边AC=8，BC=6当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，r=CD=；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6r8故答案为：r=或6r8【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况进行讨论，不要漏解18如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，Pn，记纸板Pn的面积为Sn，试通过计算S1，S2，猜想得到Sn1Sn=（）2n1（n2）【考点】扇形面积的计算【专题】规律型【分析】由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，得到S1=12=，S2=（）2同理可得Sn1=（）2（）22（）n22，Sn=（）2（）22（）n22（）n12，它们的差即可得到【解答】解：根据题意得，n2S1=12=，S2=（）2，Sn1=（）2（）22（）n22，Sn=（）2（）22（）n22（）n12，Sn1Sn=（）2n2=（）2n1故答案为（）2n1【点评】本题考查了圆的面积公式：S=R2以及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般三、解答题（本大题共10小题，共84分，写出必要的解题步骤和过程）19解方程（1）x2+3x4=0 （2）（x2）（x5）=1【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）整理成一般式后利用公式法求解可得【解答】解：（1）（x1）（x+4）=0，x1=0或x+4=0，解得：x=1或x=4；（2）整理得：x27x+11=0，a=1，b=7，c=11，=494111=50，x=【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法20计算：（1）tan30sin60+cos230sin245cos60 （2）|3|+（）24cos30【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【专题】计算题；实数【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：（1）原式=+=1； （2）原式=23+42=1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育，某中学对本校学生课业负担情况进行调查在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，发现被抽查的学生中，每天完成课外作业时间，最长不足120分钟，没有低于40分钟的，且完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图，如图所示（1）这次被抽查的学生有50人；（2）请补全频数分布直方图；（3）被调查这些学生每天完成课外作业时间的中位数在80100组（填时间范围）；（4）若该校共有3600名学生，请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在80分钟以上（包括80分钟）【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数【专题】图表型【分析】（1）根据完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%可求出抽查的学生人数；（2）根据总人数，现有人数为补上那15人；（3）50个数据，第25和26的平均数就是中位数，从表中可看出第25、26人在80100段里；（4）先求出50人里学生每天完成课外作业时间在80分钟以上的人的比例，再按比例估算全校的人数【解答】解：（1）510%=50这次被抽查的学生有50人；（2）如图所示；5035=15（3）中位数在80至100分钟这一小组内；（4）由样本知，每天完成课外作业时间在80分钟以上（包括80分钟）的人数有35人，占被调查人数的，故全校学生中每天完成课外作业时间在80分钟以上（包括80分钟）的人数约有人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数22如图所示，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交于BC于D，DEAC于E求证：DE是O的切线【考点】切线的判定；等腰三角形的性质【分析】直接利用圆周角定理进而得出ADB=90，再利用等腰三角形的性质结合三角形中位线定理得出ODDE，即可得出答案【解答】证明：连接OD，以AB为直径作O交于BC于D，ADB=90，AB=AC，BD=DC，AO=BO，DO是ABC的中位线，DOAC，DEAC，ODDE，DE是O的切线【点评】此题主要考查了切线的判定以及等腰三角形的性质，正确得出DO是ABC的中位线是解题关键23如图，AB为O的直径，点C在O上，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，已知D=30（1）求A的度数；（2）若点F在O上，CFAB，垂足为E，CF=，求图中阴影部分的面积【考点】切线的性质；扇形面积的计算【分析】（1）连接OC，则OCD是直角三角形，可求出COD的度数；由于A与COD是同弧所对的圆周角与圆心角根据圆周角定理即可求得A的度数；（2）由图可知：阴影部分的面积是扇形OCB和RtOEC的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和OE的长；在RtOCE中，OCE=D=30，已知了CE的长，通过解直角三角形，即可求出OC、OE的长，由此得解【解答】解：（1）连接OC，CD切O于点COCD=90（1分）D=30COD=60OA=OCA=ACO=30；（4分）（2）CF直径AB，CF=CE=（5分）在RtOCE中，tanCOE=，OE=2，OC=2OE=4（6分）S扇形BOC=，S阴影=S扇形BOCSEOC=【点评】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求24如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】应用题【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险【解答】解：过P作PCAB于C点，据题意知：AB=9=3，PAB=9060=30，PBC=9045=45，PCB=90，PC=BC，在RtAPC中：tan30=，即：，PC=3，客轮不改变方向继续前进无触礁危险【点评】此题主要考查解直角三角形的有关知识通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题252013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素）【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断【解答】解（1）设平均每年下调的百分率x，由题意得：12000（1x）2=9720，（1x）2=0.811x=0.9或1x=0.9，x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：平均每年下调的百分率10% （2）由（1）得：9720（110%）=8748（元），8748100=874800（元），500000+300000=800000（元），874800800000，李强的愿望不能实现【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：预订每平方米销售价格（1每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格26如图1，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s（1）求OAB的度数（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）是否存在RPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由【考点】圆的综合题【分析】（1）在RtOAB中，已知了OA、OB的长，即可求出OAB的正切值，由此可得到OAB的度数；（2）连接OM，当PM与O相切时，PM、PO同为O的切线，易证得OOPMOP，则OOP=MOP；在（1）中易得OBA=60，即OBM是等边三角形，由此可得到BOM=POM=POO=60；在RtOPO中，根据POO的度数及OO的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程速度求得t的值；（3）存在RPQ为等腰三角形，由于QPQ的腰和底不确定，需分类讨论：PR=RQ，PR=PQ，RQ=PQ时分别求出符合题意的t值即可，【解答】解：（1）在RtAOB中：tanOAB=，OAB=30（2）如图，连接OP，OM当PM与O相切时，有：PMO=POO=90，PMOPOO由（1）知OBA=60，OM=OB，OBM是等边三角形，BOM=60可得OOP=MOP=60OP=OOtanOOP=6tan60=6，又OP=2t，2t=6，t=3即：t=3时，PM与O相切（3）存在RPQ为等腰三角形，理由如下：由题意可知：PR2=16t248t，PQ2=52t2288t，RQ2=28t2240t+576，当PR=RQ时，可得t=82（t=8+舍去）；当PR=PQ时，可得t=；当RQ=PQ时，可得t=1+（t=1舍去）综上可知：当t=82，1+时，RPQ为等腰三角形【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（3）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解27如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图，连接OA、AC，则OAC的度数为105；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【考点】圆的综合题【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45，DAC=60，进而得出答案；（2）首先得出，C1A1D1=60，再利用A1E=AA1OO12=t2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可【解答】解：（1）l1l2，O与l1，l2都相切，OAD=45，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，tanDAC=，DAC=60，OAC的度数为：OAD+DAC=105，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，如图位置一，此时O移动到O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2C2，由（2）得，C2A2D2=60，GA2F=120，O2A2F=60，在RtA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+3t1=2，t1=2，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（2）=t2（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d2时，t的取值范围是：2t2+2【点评】此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键28（2016秋江阴市校级期中）已知，如图，直线y=x4与x轴，y轴分别交于B、A，将该直线绕A点顺时针旋转，且tan=，旋转后与x轴交于C点（1）求A、B、C的坐标；（2）在x轴上找一点P，使有一动点能在最短的时间内从点A出发，沿着APC的运动到达C点，并且在AP上以每秒2个单位的速度移动，在PC上以每秒个单位移动，试用尺规作图找到P点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求出所用的最短时间t【考点】一次函数综合题【分析】（1）过B作BDAB交AC于D，过D作DEx轴于E，则AOBBED，得到=，求出点D坐标，求出AC的解析式即可求出点C坐标（2）过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，首先证明t=，由此推出点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着APC的运动到达C点，求出FQ的长即可解决问题【解答】解：（1）直线y=x4与x轴，y轴分别交于B、A，A（0，4），B（8，0），过B作BDAB交AC于D，过D作DEx轴于E，则AOBBED=，OA=4，OB=8，BAD=，tan=，BE=1，DE=2D（9，2）直线AC解析式为y=x4C（18，0）（2）过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，SACF=AFOC=ACFQ，AF=8，OC=18，AC=2，FQ=，CQPCOA，=，=，=，t=+=+=，FQ是垂线段，点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着APC的运动到达C点，t=【点评】本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用相似三角形性质，根据垂线段最短，找到点P的位置，属于中考压轴题