中考数学一模试卷（含解析）16

重庆一中2016年中考数学一模试卷一、选择题：1的倒数是（）A3BCD32下列图案为德甲球队的队徽，其中是轴对称图形的是（）ABCD3下列计算中，正确的是（）A=B=6C3+=3D2=4如图，1=B，2=20，则D=（）A20B22C30D455下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A乘坐高铁对旅客的行李的检查B了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度C调查初2016级15班全体同学的身高情况D对新研发的新型战斗机的零部件进行检查6从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A6B7C8D97已知方程组的解x和y互为相反数，则a的值为（）A1B2C1D28如图，O的直径BD=6，A=60，则BC的长度为（）AB3C3D49如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（）AB C D 10我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60和30，则路况指示牌DE的高度为（）A3B23C2D3+11如图，每个图形都由同样大小的“”按照一定的规律组成，其中第1个图形有1个“”，第2个图形有2个“”，第3个图形有5个“”，则第6个图形中“”的个数为（）A23B24C25D2612使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）A0B1C2D3二、填空题：13近几年，以马拉松为主的各种路跑赛事在国内的兴起，使得该运动形成了一条产业链，各环节创造的价值不可小视有业内人士保守估计，2016年国内跑步市场的价值在38500000000元左右，并且还有巨大的上升空间请将数字38500000000用科学记数法表示为14计算：（2）2|3|=15如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，ACD=120，CD是O的切线：若O的半径为2，则图中阴影部分的面积为16如果从0，1，2，3四个数中任取一个数记作m，又从0，1，2三个数中任取的一个记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为17甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达A地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距千米18如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上任一点（与点A，B不重合），连接CE，过点D作DFCE于点F，连接AF并延长交BC边于点G，连接EG，若正方形边长为4，GC=AE，则GE=三、解答题：19（7分）在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF20（7分）随着一部在重庆取景拍摄的电影火锅英雄在山城的热播，山城人民又掀起了一股去吃洞子老火锅的热潮某餐饮公司为了大力宣传和推广该公司的企业文化，准备举办一个火锅美食节为此，公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对火锅的喜爱程度业务员小王将“喜爱程度”按A、B、C、D进行分类，并将自己的调查结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：“喜爱程度”条形统计图“喜爱程度”扇形统计图（说明：A：非常喜欢；B：比较喜欢；C：一般喜欢；D：不喜欢）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是；（3）若小王调查的社区大概有5000人，请你用小王的调查结果估计“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和四、解答题：21（10分）化简：（1）a（2a）+（a+1）（a1）（2）22（10分）如图，一次函数y=mx+n（m0）与反比例函数y=（k0）的图象相交于A（1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积23（10分）正值重庆一中85年校庆之际，学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机经市场调查，已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元（1）求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和打印机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍请问最多能购买平板电脑多少台？24（10分）阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数把数 1，3，6，10，15，21换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，叫做三角形数“名副其实”（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由五、解答题：25（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点（1）如图（1），若A=45，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长（2）如图（2），若2AEB=180BED，ABE=60，求证：BC=BE+DE（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想BED，ABD，CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论26（12分）如图1，已知抛物线y=x2x3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O，B首尾顺次连接点O、B、D、C构成四边形OBDC，请求出四边形OBDC的周长最小值（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN当CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标2016年重庆一中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：1的倒数是（）A3BCD3【考点】倒数【分析】根据倒数的定义可得到的倒数为3【解答】解：的倒数为3故选A【点评】本题考查了倒数的定义：a（a0）的倒数为2下列图案为德甲球队的队徽，其中是轴对称图形的是（）ABCD【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3下列计算中，正确的是（）A=B=6C3+=3D2=【考点】二次根式的混合运算【分析】计算出各个选项中式子的正确结果即可得到哪个选项是正确的【解答】解：不能合并，各选项A错误；，故选项B正确；3+不能合并，故选项C错误；=，故选项D错误；故选B【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法4如图，1=B，2=20，则D=（）A20B22C30D45【考点】平行线的判定与性质【分析】根据平行线的判定和性质即可得到结论【解答】解：1=B，ADBC，D=2=20故选A【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键5下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A乘坐高铁对旅客的行李的检查B了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度C调查初2016级15班全体同学的身高情况D对新研发的新型战斗机的零部件进行检查【考点】全面调查与抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答【解答】解：乘坐高铁对旅客的行李的检查适合采用全面调查，A错误；了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度适合采用全抽样调查，B正确；调查初2016级15班全体同学的身高情况适合采用全面调查，C错误；对新研发的新型战斗机的零部件进行检查适合采用全面调查，D错误，故选：B【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查6从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A6B7C8D9【考点】多边形的对角线【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n3，列方程求解【解答】解：设多边形有n条边，则n3=6，解得n=9故选：D【点评】此题主要考查了多边形对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n2）个三角形7已知方程组的解x和y互为相反数，则a的值为（）A1B2C1D2【考点】二元一次方程组的解【分析】因为x和y的值互为相反数，所以有x=y，把它代入方程1中，将直接求出x和y，然后把所求结果代入方程2中，求出a的值即可【解答】解：x和y的值互为相反数x=y代入方程2x+3y=1得：y=1，x=1把x=1，y=1代入第二个方程得：a+a1=3，解得：a=2；故选：D【点评】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质；由互为相反数的性质求出y的值是解决问题的关键8如图，O的直径BD=6，A=60，则BC的长度为（）AB3C3D4【考点】圆周角定理【分析】根据圆周角定理求出D的度数，根据正弦的定义计算即可【解答】解：由圆周角定理得，D=A=60，则BC=BDsinD=6=3，故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键9如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（）AB C D 【考点】矩形的性质【分析】连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，A=D=90，由勾股定理求出BE，由SAS证明ABEDCE，得出BE=CE=，再由BCE的面积=BEF的面积+CEF的面积，即可得出结果【解答】解：连接EF，如图所示：四边形ABCD是矩形，AB=CD=3，AD=BC=2，A=D=90，点E为AD中点，AE=DE=1，BE=，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），BE=CE=，BCE的面积=BEF的面积+CEF的面积，BCAB=BEFG+CEFH，即BE（FG+FH）=BCAB，即（FG+FH）=23，解得：FG+FH=；故选：D【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键10我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60和30，则路况指示牌DE的高度为（）A3B23C2D3+【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】过A作AFDC，交DC于点F，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义求出DF的长，在直角三角形AEF中，利用锐角三角函数定义求出EF的长，由DFEF求出DE的长即可【解答】解：过A作AFDC，交DC于点F，AF=BC=3米，在RtADF中，AF=3米，DAF=60，tan60=，即DF=3米，在RtAEF中，AF=3米，EAF=30，tan30=，即EF=米，则DE=DFEF=3=2米，故选C【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键11如图，每个图形都由同样大小的“”按照一定的规律组成，其中第1个图形有1个“”，第2个图形有2个“”，第3个图形有5个“”，则第6个图形中“”的个数为（）A23B24C25D26【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据题意总结出一般规律，然后把6代入进行计算即可【解答】解：第1个图形有1个“”，第2个图形有2个“”，第3个图形有5个“”，第n个图形中共有（2n1+n2）（n2）个“”，第6个图形中“”的个数为25+4=36故选：D【点评】本题考查的是图形的变化规律问题，根据给出的数据总结出规律是解题的关键12使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）A0B1C2D3【考点】反比例函数的性质【分析】分别根据题意确定k的值，然后相加即可【解答】解：关于x的分式方程=2的解为非负数，x=0，解得：k1，反比例函数y=图象过第一、三象限，3k0，解得：k3，1k3，整数为1，2，x0或1，和为2，故选，C【点评】本题考查了反比例函数的性质及分式方程的解的情况，属于基础题，难度不大二、填空题：13近几年，以马拉松为主的各种路跑赛事在国内的兴起，使得该运动形成了一条产业链，各环节创造的价值不可小视有业内人士保守估计，2016年国内跑步市场的价值在38500000000元左右，并且还有巨大的上升空间请将数字38500000000用科学记数法表示为3.851010【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：38 500 000 000=3.851010，故答案为：3.851010【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值14计算：（2）2|3|=【考点】绝对值；负整数指数幂【分析】根据负整数指数幂和绝对值的计算法则进行计算【解答】解：原式=3=故答案是：【点评】本题考查了绝对值和负整数指数幂熟练掌握计算法则即可解题，属于基础题15如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，ACD=120，CD是O的切线：若O的半径为2，则图中阴影部分的面积为2【考点】切线的性质；扇形面积的计算【分析】连接OC，求出D和COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案【解答】解：连接OC，AC=CD，ACD=120，CAD=D=30，DC切O于C，OCCD，OCD=90，COD=60，在RtOCD中，OCD=90，D=30，OC=2，CD=2，阴影部分的面积是SOCDS扇形COB=22=2，故答案为：2【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中16如果从0，1，2，3四个数中任取一个数记作m，又从0，1，2三个数中任取的一个记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为【考点】列表法与树状图法；点的坐标【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用第二象限点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，点P（m，n）恰在第四象限的概率=故答案为【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率17甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达A地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距600千米【考点】一次函数的应用【分析】当x=0时，y=300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可乙车的速度，设甲、乙两车出发经过t小时后同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后得到B、C之间的距离【解答】解：由图象可得：当x=0时，y=300，AB=300千米甲车的速度=3005=60千米/小时，又3003=100千米/小时，乙车的速度=10060=40千米/小时设甲、乙两车出发经过t小时后同时到达C地，则依题意可得60t40t=300，解得t=15，B，C两地的距离=4015=600千米故答案为：600【点评】本题以行程问题为背景，主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得两车的速度，并根据两车行驶路程的数量关系列出方程18如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上任一点（与点A，B不重合），连接CE，过点D作DFCE于点F，连接AF并延长交BC边于点G，连接EG，若正方形边长为4，GC=AE，则GE=【考点】正方形的性质【分析】如图，延长DA、CE交于点M假设AE=3a，GC=2a，想办法用a的代数式表示AM、CF、FM，由=，列出方程即可解决问题【解答】解：如图，延长DA、CE交于点MGC=AE，可以假设AE=3a，GC=2a，四边形ABCD 是正方形，AB=BC=CD=AD=4，ABCD，BCAD，=，=，AM=，由CDFECB，得=，CF=，由MDFCEB，得=，FM=，CGAM，=，=，解得a=，在RtGBE中，BG=4=，BE=4=，GE=，故答案为【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型三、解答题：19在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF【解答】证明：连接BE，DF，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，AE=CF，OAAE=OCCF，OE=OF，四边形BEDF是平行四边形，DE=BF【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键20随着一部在重庆取景拍摄的电影火锅英雄在山城的热播，山城人民又掀起了一股去吃洞子老火锅的热潮某餐饮公司为了大力宣传和推广该公司的企业文化，准备举办一个火锅美食节为此，公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对火锅的喜爱程度业务员小王将“喜爱程度”按A、B、C、D进行分类，并将自己的调查结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：“喜爱程度”条形统计图“喜爱程度”扇形统计图（说明：A：非常喜欢；B：比较喜欢；C：一般喜欢；D：不喜欢）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是72；（3）若小王调查的社区大概有5000人，请你用小王的调查结果估计“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比求出总人数，再减去A类、B类和C类的人数，求出D类的人数，从而补全统计图；（2）用360乘以A类所占的百分比，即可求出A类所在的扇形的圆心角度数；（3）用社区的总人数乘以“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）根据题意得：102312=5（人），答：不喜欢的人数有5人，补图如下：（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是：36020%=72；故答案为：72；（3）根据题意得：5000（46%+20%）=3300（人），答：“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和为3300人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据四、解答题：21（10分）（2016重庆校级一模）化简：（1）a（2a）+（a+1）（a1）（2）【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；平方差公式【分析】（1）根据单项式乘以多项式和平方差公式可以化简本题；（2）根据分式的除法和减法可以化简本题【解答】解：（1）a（2a）+（a+1）（a1）=2aa2+a21=2a1；（2）=【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘以多项式、平方差公式，解题的关键是明确它们各自的计算方法22（10分）（2016重庆校级一模）如图，一次函数y=mx+n（m0）与反比例函数y=（k0）的图象相交于A（1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可【解答】解：（1）反比例函数y=（k0）的图象过A（1，2），k=12=2，反比例函数解析式为y=，当x=2时，y=1，即B点坐标为（2，1），一次函数y=mx+n（m0）过A、B两点，把A、B两点坐标代入可得，解得，一次函数解析式为y=x+1；（2）在y=x+1中，当x=0时，y=1，C点坐标为（0，1），点D与点C关于x轴对称，D点坐标为（0，1），CD=2，SABD=SACD+SBCD=21+22=3【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键23（10分）（2016重庆校级一模）正值重庆一中85年校庆之际，学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机经市场调查，已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元（1）求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和打印机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍请问最多能购买平板电脑多少台？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用【分析】（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元，根据“购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100m）台，根据“购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式即可得出结论【解答】解：（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元，由题意得：，解得：答：购买1台打印机需要800元，购买1台平板电脑需要3000元（2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100m）台，由题意得：，解得：m，m为正整数，m33答：最多能购买平板电脑33台【点评】本题考查了二元一次方程组的应用已经一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元一次不等式组本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式组）是关键24（10分）（2016重庆校级一模）阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数把数 1，3，6，10，15，21换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，叫做三角形数“名副其实”（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）66是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可；（3）表示出的T表示后，利用拆项法整理判断即可【解答】解：（1）根据题意得：an=（n为正整数）；（2）66是三角形数，理由如下：当=66时，解得：n=11或n=12（舍去），则66是第11个三角形数；（2）T=+=+=2（1+）=，n为正整数，01，则T2【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键五、解答题：25（12分）（2016重庆校级一模）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点（1）如图（1），若A=45，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长（2）如图（2），若2AEB=180BED，ABE=60，求证：BC=BE+DE（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想BED，ABD，CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明AFB与EFD为等腰直角三角形，然后在ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在RtEDF中，可求得DE的长；（2）延长DE至K，使EK=EB，联结AK首先证明AEB=AEK，然后依据SAS证明AEBAEK，由全等三角形的性质可得到可等边三角形的判断定理可证明AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记AB与DE的交点为O首先证明依据菱形的性质可得到ABC=2ABD，然后依据平行四边形的性质可证明CDE=BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD为菱形，AD=AB=，ABCDA=ADE=45ADBE，AFB=DFE=90AFB与EFD为等腰直角三角形BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，BF=AF=EFD为等腰直角三角形，EF=DF=ADAF=DE=EF=（）=2（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK2AEB=180BED，BED=1802AEB=180AEBAEKAEB=AEK在AEB和AEK中，AEBAEKK=ABE=60，Ak=AB又AB=AD，AK=AEAKD为等边三角形KD=ADKD=BCKD=KE+DE，CB=EB+DE（3）如图3所示：记AB与DE的交点为O四边形ABCD为菱形，ABDC，ABC=2ABDCDE=BOEABC=BED+EOB，2ABD=BED+CDE【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判断、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握问题中辅助线的做法，并征得AKD为等边三角形是解题的关键26（12分）（2016重庆校级一模）如图1，已知抛物线y=x2x3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O，B首尾顺次连接点O、B、D、C构成四边形OBDC，请求出四边形OBDC的周长最小值（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN当CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线解析式进行配方即可得出顶点D的坐标；（2）作点C（0，3）关于x轴的对称点C（0，3），将点C（0，3）向右平移4个单位得到点C（4，3），连接DC，交x轴于点B，将点B向左平移4个单位得到点O，连接CO，CO，则四边形OBCC为平行四边形，此时四边形OBDC周长取最小值再根据两点间的距离公式求出CD、DC的长度，即可得出结论；（3）按点M的位置不同分两种情况考虑：点M在直线y=x3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标；点M在直线y=x3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标综合两种情况即可得出结论【解答】解：（1）令y=x2x3中y=0，则x2x3=0，解得：x1=2，x2=4，A（2，0），B（4，0）y=x2x3=（x22x）3=（x1）2，D（1，）（2）令y=x2x3中x=0，则y=3，C（0，3）D（1，），OB=OB=4如图1，作点C（0，3）关于x轴的对称点C（0，3），将点C（0，3）向右平移4个单位得到点C（4，3），连接DC，交x轴于点B，将点B向左平移4个单位得到点O，连接CO，CO，则四边形OBCC为平行四边形，此时四边形OBDC周长取最小值此时C四边形OBDC=CD+OB+CO+DB=CD+OB+DCOB=4，CD=，CD=，四边形OBDC的周长最小值为4+（3）CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图2）：过点C作直线y=x3交抛物线于点M，联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍去），M（，）CMN为等腰直角三角形，C（0，3），点N的坐标为（0，）或（0，）；过点C作直线y=x3交抛物线于点M，联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍去），M（，）CMN为等腰直角三角形，C（0，3），点N的坐标为（0，）或（0，）综上可知：当CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，点N的坐标为（0，）、（0，）、（0，）或（0，）【点评】本题考查了解一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及二元二次方程组，解题的关键是：（1）令y=0求出A、B点的横坐标；（2）找出四边形OBDC的周长最小时点B的位置；（3）分两种情况考虑本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键