中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练（五）圆的有关计算、证明与探究试题

中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDACBD.(1)判断直线CD和O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作O的切线BE交直线CD于点E，若AC2，O的半径是3，求BE的长【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出DABDBA90，从而得出CDAADO90，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DEEB，在RtCBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【学生解答】解：(1)直线CD和O的位置关系是相切理由是：连接OD.AB是O的直径，ADB90，DABDBA90.CDACBD，DABCDA90.ODOA，DABADO，CDAADO90，即ODCE，直线CD是O的切线，即直线CD和O的位置关系是相切；(2)AC2，O的半径是3，OC235，OD3.在RtCDO中，由勾股定理得CD4.CE切O于点D，EB切O于点B，DEEB，CBE90，设DEEBx，在RtCBE中，由勾股定理，得CE2BE2BC2，则(4x)2x2(53)2，解得x6，即BE6.1(2016毕节中考)如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，ACFC.(1)求证：AC是O的切线；(2)已知圆的半径R5，EF3，求DF的长解：(1)如图，连接AE，AO.BE为半圆，BAE90.，BADEAD45，AFCB45，CAFEAC45.ACFC，AFCCAF，B45EAC45，BEAC.OAOB，OABB，EACOAB，OACOAEEACOAEOABBAE90，ACOA，AC为O为切线；(2)如图，连接OD.，BODDOE90.在RtOFD中 ，OF532，OD5，DF.2(2016承德二中一模)已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.(1)求证：EF是O的切线；(2)若O的半径为3，EAC60，求AD的长解：(1)连接FO，易证OFAB.AC是O的直径，CEAE，OFAB，OFCE.又OEOC，OF是线段CE的垂直平分CE，FCFE，FECFCE.OEOC，OECOCE.RtABC中，ACB90，即OCEFCE90，OECFEC90，即FEO90，EF为O的切线；(2)O的半径为3，AOCOEO3.EAC60，OAOE，EOA60，CODEOA60.在RtOCD中，COD60，OC3，CD3.在RtACD中，ACD90，CD3，AC6，AD3.圆与相似【例2】如图，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接AD.(1)弦长AB_；(结果保留根号)(2)当D20时，求BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程【思路分析】(1)结合垂径定理过点O作BC的垂线，再由特殊直角三角形得ABOB，则AB2；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使DAC与BOC相似，只能DCABCO90，此时，BOC60，BOD120，DAC60，DACBOC.BCO90，即OCAB，ACAB.【学生解答】解：(1)2；(2)连接OA.OAOBOD，BAOB30，DDAO20，DABBAODAO50，BOD2DAB100；(3)BCODACD，BCODAC，BCOD，要使DAC与BOC相似，只能DCABCO90，此时BOC60，BOD120，DAC60，DACBOC.BCO90，即OCAB，ACAB.3(2016黄冈中考)已知：如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径的O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：(1)BCPBAN；(2).证明：(1)AC为O的直径，ANC90，NACACN90，ABAC，BANCAN，PC是O的切线，ACP90，ACNPCB90，BCPCAN，BCPBAN；(2)连接MN，ABAC，ABCACB，又四边形AMNC为O的内接四边形，ACBAMN180，又CBPABC180，PBCAMN，由(1)知BCPBAN，BPCMNA，.4(2016广东中考)如图，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC30，过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE; (2)若SAOC，求DE的长； (3)连接EF，求证：EF是O的切线解：(1)BC为O的直径，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC为等边三角形，即OACAOC60，AF为O的切线，OAF90，CAFAFC30，DE为O的切线，DBCOBE90，DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC为等边三角形，SAOCOA2，OA1，BC2，OB1，又DBEO30，BD2，BE，DE3；(3)如图，过点O作OMEF于点M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAFOBE，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF为O的切线圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图，AB是O的直径，点C在O上，连接BC，AC，作ODBC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若，求cosABC的值【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE是O的切线，只需证得OCDE；(2)由，可设CE2k(k0)，则DE3k，在RtDAE中，由勾股定理求得AE2k，则tanE，所以在RtOCE中，tanE，求得OC.在RtAOD中，由勾股定理得到ODk，从而求出cosABC的值【学生解答】解：(1)如图，连接OC. AD是过点A的切线，AB是O的直径，ADAB. DAB90. ODBC, DOCBCO，DOACBA.OCOB，BCOCBA，DOCDOA.在COD和AOD中，CODAOD(SAS)，OCDDAB90.即OCDE于点C.OC是O的半径，DE是O的切线；(2)由，可设CE2k(k0)，则DE3k，ADDCk，在RtDAE中，AE2k，tanE.在RtOCE中，tanE，OCOAk，在RtAOD中，ODk，cosABCcosAOD.5(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求CDE的度数；(2)求证：DF是O的切线；(3)若AC2DE，求tanABD的值解：(1)AC为O的直径，ADC90，EDC90；(2)连接DO，EDC90，F是EC的中点，DFFC，FDCFCD，ODOC，OCDODC，ODCFDCOCDFCD，ODFOCF，ECAC，OCF90， ODF90，DF是O的切线；(3)在ACD与ACE中，ADCACE90，EACCAD，ACDAEC，AC2ADAE.又AC2DE，20DE2(AEDE)AE，(AE5DE)(AE4DE)0，AE5DE，AD4DE，在RtACD中，AC2AD2CD2，CD2DE.又在O中，ABDACD，tanABDtanACD2.6(2016自贡模拟)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长O于点E，连接AD，DE，若CF2，AF3.(1)求证：ADFAED；(2)求FG的长；(3)求证：tanE.解：(1)AB是O的直径，弦CDAB，ADFAED.FADDAE，ADFAED；(2)，CF2，FD6，CDDFCF8，CGDG4，FGCGCF2；(3)AF3，FG2，AG，在RtAGD中，tanADG.ADGE，tanE.