中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题

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中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质和判定,同时要注意已知条件之间的相互联系圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图,点D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且CDACBD.(1)判断直线CD和O的位置关系,并说明理由;(2)过点B作O的切线BE交直线CD于点E,若AC2,O的半径是3,求BE的长【思路分析】(1)连接OD,根据圆周角定理求出DABDBA90,从而得出CDAADO90,再根据切线的判定推出即可;(2)首先利用勾股定理求出DC,由切线长定理得出DEEB,在RtCBE中根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可【学生解答】解:(1)直线CD和O的位置关系是相切理由是:连接OD.AB是O的直径,ADB90,DABDBA90.CDACBD,DABCDA90.ODOA,DABADO,CDAADO90,即ODCE,直线CD是O的切线,即直线CD和O的位置关系是相切;(2)AC2,O的半径是3,OC235,OD3.在RtCDO中,由勾股定理得CD4.CE切O于点D,EB切O于点B,DEEB,CBE90,设DEEBx,在RtCBE中,由勾股定理,得CE2BE2BC2,则(4x)2x2(53)2,解得x6,即BE6.1(2016毕节中考)如图,以ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于点F,ACFC.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知圆的半径R5,EF3,求DF的长解:(1)如图,连接AE,AO.BE为半圆,BAE90.,BADEAD45,AFCB45,CAFEAC45.ACFC,AFCCAF,B45EAC45,BEAC.OAOB,OABB,EACOAB,OACOAEEACOAEOABBAE90,ACOA,AC为O为切线;(2)如图,连接OD.,BODDOE90.在RtOFD中 ,OF532,OD5,DF.2(2016承德二中一模)已知如图,以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.(1)求证:EF是O的切线;(2)若O的半径为3,EAC60,求AD的长解:(1)连接FO,易证OFAB.AC是O的直径,CEAE,OFAB,OFCE.又OEOC,OF是线段CE的垂直平分CE,FCFE,FECFCE.OEOC,OECOCE.RtABC中,ACB90,即OCEFCE90,OECFEC90,即FEO90,EF为O的切线;(2)O的半径为3,AOCOEO3.EAC60,OAOE,EOA60,CODEOA60.在RtOCD中,COD60,OC3,CD3.在RtACD中,ACD90,CD3,AC6,AD3.圆与相似【例2】如图,已知AB是O的弦,OB2,B30,C是弦AB上的任意一点(不与点A,B重合),连接CO并延长CO交O于点D,连接AD.(1)弦长AB_;(结果保留根号)(2)当D20时,求BOD的度数;(3)当AC的长度为多少时,以A,C,D为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似?请写出解答过程【思路分析】(1)结合垂径定理过点O作BC的垂线,再由特殊直角三角形得ABOB,则AB2;(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中,同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答;(3)首先分析要使DAC与BOC相似,只能DCABCO90,此时,BOC60,BOD120,DAC60,DACBOC.BCO90,即OCAB,ACAB.【学生解答】解:(1)2;(2)连接OA.OAOBOD,BAOB30,DDAO20,DABBAODAO50,BOD2DAB100;(3)BCODACD,BCODAC,BCOD,要使DAC与BOC相似,只能DCABCO90,此时BOC60,BOD120,DAC60,DACBOC.BCO90,即OCAB,ACAB.3(2016黄冈中考)已知:如图,在ABC中,ABAC,以AC为直径的O交AB于点M,交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.求证:(1)BCPBAN;(2).证明:(1)AC为O的直径,ANC90,NACACN90,ABAC,BANCAN,PC是O的切线,ACP90,ACNPCB90,BCPCAN,BCPBAN;(2)连接MN,ABAC,ABCACB,又四边形AMNC为O的内接四边形,ACBAMN180,又CBPABC180,PBCAMN,由(1)知BCPBAN,BPCMNA,.4(2016广东中考)如图,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,ABC30,过点B作O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证:ACFDAE; (2)若SAOC,求DE的长; (3)连接EF,求证:EF是O的切线解:(1)BC为O的直径,BAC90,又ABC30,ACB60,又OAOC,OAC为等边三角形,即OACAOC60,AF为O的切线,OAF90,CAFAFC30,DE为O的切线,DBCOBE90,DDEA30,DCAF,DEAAFC,ACFDAE;(2)AOC为等边三角形,SAOCOA2,OA1,BC2,OB1,又DBEO30,BD2,BE,DE3;(3)如图,过点O作OMEF于点M,OAOB,OAFOBE90,BOEAOF,OAFOBE,OEOF,EOF120,OEMOFM30,OEBOEM30,即OE平分BEF,又OBEOME90,OMOB,EF为O的切线圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图,AB是O的直径,点C在O上,连接BC,AC,作ODBC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若,求cosABC的值【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE是O的切线,只需证得OCDE;(2)由,可设CE2k(k0),则DE3k,在RtDAE中,由勾股定理求得AE2k,则tanE,所以在RtOCE中,tanE,求得OC.在RtAOD中,由勾股定理得到ODk,从而求出cosABC的值【学生解答】解:(1)如图,连接OC. AD是过点A的切线,AB是O的直径,ADAB. DAB90. ODBC, DOCBCO,DOACBA.OCOB,BCOCBA,DOCDOA.在COD和AOD中,CODAOD(SAS),OCDDAB90.即OCDE于点C.OC是O的半径,DE是O的切线;(2)由,可设CE2k(k0),则DE3k,ADDCk,在RtDAE中,AE2k,tanE.在RtOCE中,tanE,OCOAk,在RtAOD中,ODk,cosABCcosAOD.5(2016唐山九中一模)如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC为O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求CDE的度数;(2)求证:DF是O的切线;(3)若AC2DE,求tanABD的值解:(1)AC为O的直径,ADC90,EDC90;(2)连接DO,EDC90,F是EC的中点,DFFC,FDCFCD,ODOC,OCDODC,ODCFDCOCDFCD,ODFOCF,ECAC,OCF90, ODF90,DF是O的切线;(3)在ACD与ACE中,ADCACE90,EACCAD,ACDAEC,AC2ADAE.又AC2DE,20DE2(AEDE)AE,(AE5DE)(AE4DE)0,AE5DE,AD4DE,在RtACD中,AC2AD2CD2,CD2DE.又在O中,ABDACD,tanABDtanACD2.6(2016自贡模拟)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点G,点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长O于点E,连接AD,DE,若CF2,AF3.(1)求证:ADFAED;(2)求FG的长;(3)求证:tanE.解:(1)AB是O的直径,弦CDAB,ADFAED.FADDAE,ADFAED;(2),CF2,FD6,CDDFCF8,CGDG4,FGCGCF2;(3)AF3,FG2,AG,在RtAGD中,tanADG.ADGE,tanE.
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