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第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似,河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分201615相似三角形判定从一个三角形纸片剪下一个三角形判定与原三角形相似条件22201413相似三角形相似多边形的判定根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似33201311相似三角形的判定及性质以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度33201223位似图形涉及作位似图形及相关计算3320119相似三角形的判定及性质以三角形中的折叠为背景，利用相似三角形的判定及性质求线段比值320位似图形(1)作与已知图形位似的三角形；(2)求四边形周长8112010 24相似三角形判定及性质利用相似三角形的判定及性质求线段比值33命题规律纵观河北8年中考，本考点共考查了7次，题型有选择题、解答题，分值211分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题)，位似图形考查了2次命题预测预计2017年河北中考对本节内容仍会做重点考查，故在复习中多加训练.河北8年中考真题及模拟)图形相似的判定及性质(5次)1(2016河北15题2分)如图，ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C),A),B),C),D)2(2011河北9题3分)如图，在ABC中，C90，BC6，D、E分别在AB、AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A. B2 C3 D43(2014河北13题3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对图形的位似(2次)4(2016河北23题9分)如图(1)，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE和ED的数量关系为_AEED_；AE和ED的位置关系为_AEED_；(2)在图(1)中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别和到图(2)和图(3)在图(2)中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点，求证：GHHD，GHHD.在图(3)中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD.(用含k的代数式表示)解：(2)由题意，得BC90，ABBEECDC.EGF与EAB的相似比为12，GFEB90，GFAB，EFEB，GFEC，EHHCEC，GFHC，FHFEEHEBECBCECCD，HGFDHC.GHHD，GHFHDC.HDCDHC90，GHFDHC90.GHD90，GHHD.当GHHD，GHHD时，FHGDHC90，FHGFGH90，FGHDHC，GFHHCD.FGCH.EFFG，EFCH.EGF与EAB的相似比是k1，BC2，BEEC1，EFk，CH的长为k.5(2011河北20题8分)如图，在68网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和ABC的顶点均为小正方形的顶点(1)以O为位似中心，在网格图中作ABC，使ABC和ABC位似，且位似比为12；(2)连接(1)中的AA，求四边形AACC的周长(结果保留根号)解：(1)略；(2)46.6(2016沧州八中一模)如图，在ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于(A)A58 B38 C35 D257(2016河北石家庄二十八中一模)如图，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE于点G，BG4，则EFC的周长为(D)A11 B10 C9 D88(2016保定博野模拟)在直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点的三角形与AOB相似这样的直线最多可以作(C)A2条 B3条 C4条 D6条9(2016邯郸涉县一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG1，BF2，GEF90，则GF的长为(D)A4 B2 C5 D310(2016河北保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(D)A正方形与矩形B正方形与菱形C菱形与菱形D正五边形与正五边形11(2016河北唐山十二中二模)如图，ABO缩小后变为ABO，其中A，B的对应点分别为点A，B，点A，B，A，B均在图中的格点上若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在AB上的对应点P的坐标为(D)A. B(m，n)C. D.12(2016河北唐山五十四中二模)如图，在ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AEBE43，且BF2，则DF_13(2016河北唐山友谊中学一模)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是_(，)_14(2016河北石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，C在AC同侧，AC90，BDBE，ADBC.(1)求证：ACADCE；(2)若AD3，CE5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值解：(1)AC90，DBBE，ADBABD90，ABDEBC90.ADBEBC.又ADBC，ADBCBE(ASA)，ABCE.ACBCABADCE；(2)过点Q作QHBC于点H，则ADPHPQ，BHQBCE，.设APx，QHy，则有，BH，PH5x，即(x5)(3y5x)0.又点P不与A，B重合，x5，即x50.3y5x0，即3y5x.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1线段的比：两条线段的比是两条线段的_长度_之比2比例中项：如果，即b2_ac_，我们就把b叫做a、c的比例中项3比例的性质性质1_ad_bc(a、b、c、d0)性质2如果，那么.性质3如果(bdn0)，则_(不唯一)_.4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使_，那么点C叫做线段AC的_黄金分割点_，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做_黄金比_相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质为河北近7年的必考点，考查题型为选择题、解答题，仅2014年单纯考查相似三角形与相似四边形的判定，其余均为与几何图形结合，解答过程中利用三角形相似的判定及性质求线段长度主要设问方式为证明三角形相似，再利用相似求线段长度及判断图形相似等5定义：对应角_相等_，对应边_成比例_的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比6性质：(1)相似三角形的_对应角_相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于_相似比_，面积比等于_相似比的平方_7判定：(1)_有两角_对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且_夹角_相等，两三角形相似；(3)三边_对应成比例_，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边_对应成比例_，两直角三角形相似【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定(1)或再找夹边成比例用判定(2)(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知ABCDEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案如：，此式正确那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明相似多边形8定义：对应角_相等_，对应边_成比例_的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比9性质：(1)相似多边形的对应边_成比例_；(2)相似多边形的对应角_相等_；(3)相似多边形周长的比_等于_相似比，相似多边形面积的比等于_相似比的平方_位似图形10定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做_位似图形_，这个点叫做_位似中心_，相似比叫做位似比11性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_k或k_；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_位似比或相似比_12找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是_位似中心_13画位似图形的步骤：(1)确定_位似中心_；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知，且3a2bc20，则2a4bc的值为_【学生解答】6【点拨】设k(k0)，用含k的式子表示a、b、c，代入等式3a2bc20求出k值，再求出a、b、c值代入可求1(2015河北沧州十三中一模)若xy13，2y3z，则的值是(A) A5 B C. D5相似三角形的判定与性质(重难点)【例2】(2015茂名中考)如图，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t s，连接MN.(1)如图，若BMN与ABC相似，求t的值；(2)如图，连接AN，CM，若ANCM，求t的值【解析】(1)BMN与ABC相似，分两种情况：BMNBAC和BMNBCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MDBC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得CANDCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值【学生解答】解：(1)由题意知BA10(cm)，BM3t cm，CN2t cm，BN(82t)cm.当BMNBAC时，有，解得t；当BMNBCA时，有，解得t，当BMN与ABC相似时，t的值为或；(2)如图，过点M作MDCB于点D，由题意得BM3t cm，CN2t cm，DMBMsinB3tt(cm)，BDBMcosB3tt(cm)，CDcm.ANCM，ACB90，CANACM90，MCDACM90，CANMCD.MDCB，MDCACB90，CANDCM.，解得t.2(2016宁波中考)如图，梯形ABCD中，ADBC，BACD90，AB2，DC3，则ABC与DCA的面积比为(C)A23 B25 C49 D.3(2016自贡中考)如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，求证：DE綊BC.证明：D是AB的中点，E是AC的中点，又AA，ADEABC，ADEB，BC2DE，BCDE，即DE綊BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B的坐标是()A(2，3) B(2，3)C(3，2)或(2，3) D(2，3)或(2，3)【学生解答】D【点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OABC.4(2016沧州八中二模)如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，OCD90，COCD.若B(1，0)，则点C的坐标为(B)A(1，2)B(1，1)C(，)D(2，1),中考备考方略)1(2016东营中考)若，则的值为(D) A1 B. C. D.2(2016兰州中考)如图，在ABC中，DEBC，若，则(C)A. B. C. D.(第2题图)(第3题图)3(2016荆州中考)如图，点P在ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件不正确的是(D)AABPC BAPBABCC. D.4(2016杭州中考)如图，已知直线abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则(B)A. B. C. D15(2016临夏中考)如果两个相似三角形的面积比是14，那么它们的周长比是(D)A116 B14 C16 D126(2016重庆中考)ABC与DEF的相似比为14，则ABC与DEF的周长比为(C)A12 B13 C14 D1167(2016盐城中考)如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形(C)A0个 B1个 C2个 D3个(第7题图)(第8题图)8(2016安徽中考)如图，ABC中，AD是中线，BC8，BDAC，则线段AC的长为(B)A4 B4 C6 D49(2016东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，6)，B(9，3)，以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是(D)A(1，2) B(9，18)C(9，18)或(9，18) D(1，2)或(1，2)10(2016宿迁中考)若两个相似三角形的面积比为14，则这两个相似三角形的周长比是_12_11(2016衡阳中考)若ABC与DEF相似且面积之比为2516，则ABC与DEF的周长之比为_54_12(2016临夏中考)如图，已知ECAB，EDAABF.求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2OEOF.证明：(1)ECAB，EDADAB，EDAABF，DABABF，ADBC，DCAB，四边形ABCD为平行四边形；(2)ECAB，OABOED，ADBC，OBFODA，OA2OEOF.13(2016咸宁中考)如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：；.其中正确的个数有(B)A1个 B2个 C3个 D4个(第13题图)(第14题图)14(2016沧州九中模拟)如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB10，BC16，则线段EF的长为(B)A2 B3 C4 D515(2016泰安中考)如图，ABC内接O，AB是O的直径，B30，CE平分ACB交O于E，交AB于点D，连接AE，则SADESCDB的值等于(D)A1 B1 C12 D23(第15题图)(第16题图)16(2016十堰中考)如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知OB3OB，则ABC与ABC的面积比为(D)A13 B14 C15 D1917(2016舟山中考)如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB12，EF9，则DF的长是多少？解：ABC与DEC的面积相等，CDF与四边形AFEB的面积相等，ABDE，CEFCBA，EF9，AB12，EFAB91234，CEF和CBA的面积比916，设CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k，CDF与四边形AFEB的面积相等，SCDF7k，CDF与CEF是同高不同底的三角形，面积比等于底之比，DFEF7k9k，DF7.18(2016石家庄四十一中二模)如图，已知四边形ABCD内接O，A是的中点，AEAC于A，与O及CB的延长线交于点F、E，且.(1)求证：ADCEBA；(2)如果AB8，CD5，求tanCAD的值解：(1)四边形ABCD内接于O，CDAABE.，DCABAE.ADCEBA；(2)A是的中点，ABAC8，ADCEBA，CADAEC，即，AE，tanCADtanAEC.19(2016杭州中考)如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AEDB，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且.(1)求证：ADFACG；(2)若，求的值解：(1)AEDB，DAEDAE，ADFC，ADFACG；(2)ADFACG，又，1.
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