中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档题型训练（五）圆的有关计算、证明与探究试题

中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究命题规律圆的有关计算与证明是怀化中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系命题预测预计2017年怀化中考将以切线的判定与性质、求阴影的面积或弧长综合呈现，也可能设置考查某一个点的形式呈现.与圆有关的性质【例1】(2015黔西南中考)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP，求O的直径【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题【学生解答】解：(1)CP，1C，1P，CBPD；(2)连接AC，AB为O的直径，ACB90.又CDAB，.PCAB.sinCABsinP，即.又BC3，AB5.O的直径为5.1(2016苏州中考)如图，AB是O的直径，D，E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CDBD，连接AC交O于点F，连接AE，DE，DF.(1)证明：EC；(2)若E55，求BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF4，cosB，E是的中点，求EGED的值解：(1)连接AD，AB是O的直径，ADB90，即ADBC.CDBD，AD垂直平分BC，ABAC，BC.又BE，EC；(2)四边形AEDF是O的内接四边形，AFD180E.又CFD180AFD，CFDE55.又EC55，BDFCCFD110；(3)连接OE，CFDEC，FDCDBD4.在RtABD中，cosB，BD4，AB6.E是的中点，AB是O的直径，AOE90.AOOE3，AE3.E是的中点，ADEEAB，AEGDEA，即EGEDAE218.圆的切线的性质与判定【例2】(2015雅安中考)如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为O的切线；(2)若BD的弦心距OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积(结果保留)【解析】(1)证ODCABC90；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，可求得BD的长，BOD的度数，又由S阴影S扇形OBDSBOD，即可求解【学生解答】解：(1)连接OD，BC是O的切线，ABC90.CDCB，CBDCDB.OBOD，OBDODB.ODCABC90，即ODCD.点D在O上，CD为O的切线；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，BOF60，OB2，BF.OFBD，BD2BF2，BOD2BOF120.S阴影S扇形OBDSBOD21.2(2016黄石中考)如图，O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，ADCD.(1)若BC3，AB5，求AC的值；(2)若AC是DAB的平分线，求证：直线CD是O的切线解：(1)AB是O直径，点C在O上，ACB90.BC3，AB5，AC4；(2)连接OC，AC是DAB的平分线，DACBAC.又ADDC，ADCACB90，ADCACB，DCACBA.又OAOC，OACOCA，OACOBC90，OCAACDOCD90，DC是O的切线3(2015临沂中考)如图，点O为RtABC斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分BAC；(2)若BAC60，OA2，求阴影部分的面积(结果保留)解：(1)O切BC于点D，ODBC，ACBC，ACOD，CADADO，OAOD，OADADO，OADCAD，即AD平分CAB；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.BAC60，OAOE，AEO是等边三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD，又由(1)知，ACOD即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDOM，EOD60，SAEMSDMO，S阴影S扇形EOD.4(2016白银中考)如图，在ABC中，ABAC，点D在BC上，BDDC，过点D作DEAC，垂足为点E，O经过A，B，D三点(1)求证：AB是O的直径；(2)判断DE与O的位置关系，并加以证明；(3)若O的半径为3，BAC60，求DE的长解：(1)连接AD，在ABC中，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB为O的直径；(2)DE与O相切证明：连接OD，AOBO，BDDC，OD为ABC的中位线，ODAC.又DEAC，DEOD，DE是O的切线；(3)AO3，AB6.又ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，AD3.ACDECDAD，6DE33，DE.圆与相似及三角函数的综合【例3】(2015资阳中考)如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.(1)求证：CDECAD；(2)若AB2，AC2，求AE的长【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算【学生解答】解：(1)AB是O的直径，ADB90，ABDBAD90.又AC是O的切线，ABAC，即BAC90，CADBAD90，ABDCAD.ABDBDOCDE，CADCDE.又CC，CDECAD；(2)在RtOAC中，OAC90，OA2AC2OC2，即12(2)2OC2，OC3，CD2.又由CDECAD，得，即，CE.AEACCE2.5(2016凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于O，A是的中点，AEAC于点A，与O及CB的延长线交于点F，E，且.(1)求证：ADCEBA；(2)如果AB8，CD5，求tanCAD的值解：(1)四边形ABCD内接于O，CDAABE.，DCABAE.ADCEBA；(2)A是的中点，ABAC8.ADCEBA，CADAEC，AE，tanCADtanAEC.