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题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究1猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为914分2考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分值为11分；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分.2016年在此题型上来考查预计2017年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题,中考重难点突破)与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图至图中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图，若AOOB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图，其中AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图，求的值【学生解答】(1)AOBD，AOBD；(2)如图，过点B作BECA交DO于点E，ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOCBOE，ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45，245，BEBD，EBD90.ACBD.延长AC交DB的延长线于点F，BEAC，AFD90，ACBD；(3)如图，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOEAOC.又OBkAO，由(2)的方法易得BEBD，k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1(2015重庆中考)在ABC中，ABAC，A60，点D是线段BC的中点，EDF120，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1，若DFAC，垂足为点F，AB4，求BE的长；(2)如图2，将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BECFAB；(3)如图3，将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF(BECF)解：(1)由四边形AEDF的内角和为360，可知DEAB，故BE1；(2)取AB的中点G，连接DG.易证：DG为ABC的中位线，故DGDC，BGDC60，又四边形AEDF的对角互补，故GEDDFC.DEGDFC，故EGCF.BECFBEEGBGAB；(3)取AB的中点G，连接DG，同(2)，易证DEGDFC，故EGCF，故BECFBEEGBGAB.设CNx，在RtDCN中，CD2x，DNx，在RtDFN中，NFDNx，故EGCF(1)x.BEBGEGDCCF2x(1)x(1)x.故BECF(1)x(1)x2x.(BECF)(1)x(1)x2x.故BECF(BECF)2(2016河北中考)如图，OAB中，OAOB10，AOB80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交 OA，OB于点M，N.(1)点P在右半弧上(BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80得OP.求证：APBP；(2)点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；(3)设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数解：(1) AOPAOBBOP80BOP，BOPPOPBOP80BOP，AOPBOP，又OAOB，OPOP，在AOP和BOP中，AOPBOP(SAS), APBP；(2)如图1，连接OT，过点T作THOA于点H, AT与相切，ATO90，AT8，OATHATOT, 即10TH86，即TH，T，即为所求的距离；(3)如图2，当OQOA时，AOQ的面积最大理由：OQOA, QO是AOQ中最长的高，则AOQ的面积最大， BOQAOQAOB9080170， 当Q点在优弧 右侧上，OQOA, QO是AOQ中最长的高，则AOQ的面积最大， BOQAOQAOB908010， 综上所述：当BOQ的度数为10或170时，AOQ的面积最大. 3(2016廊坊二模)如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.(1)试猜想线段BG和AE的数量关系是_；(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转(0360)判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；若BCDE4，当AE取最大值时，求AF的值解：图(1)AEBG；(2)成立，BGAE.如图，连接AD.在RtBAC中，ABAC，D为斜边BC的中点，ADBD，ADBC，ADGBDG90.四边形EFGD为正方形，DEDG，且GDE90，ADGADE90，BDGADE.在BDG和ADE中，BDGADE(SAS)，GDAE；图BGAE，当BG取得最大值时AE取得最大值，如图，当旋转面为270时，BGAE.BCDE4，D为BC的中点，四边形DEFG为正方形，BDCDBC2，EFDGDE4，BGBDGD246，AEBG6，AF2.4(2016沧州八中模拟)如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90， BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到图所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC 中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点D是其角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE, 请直接写出相应的BF的长解：(1)DEAC；S1S2；(2)如图：DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD.ACNBCN90，DCMBCN1809090，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM(AAS)，ANDM，又BCCE，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的两个三角形面积相等)，即S1S2；(3)BF或.5(2016岳阳中考)已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点(1)操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A，B，当点A与点C重合时(如图所示)，连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：_；(2)猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3)延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB90(如图所示)，若两平行线m、n之间的距离为2k.求证：PAPBkAB.解：(1)PAPB；(2)成立证明略；(3)证明略与图形的相似、位似有关的证明【经典导例】【例2】(2014河北中考)如图，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE和ED的数量关系为_，AE和ED的位置关系为_；(2)在图中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图和图.在图中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点求证：GHHD，GHHD.在图中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD.(用含k的代数式表示)【解析】(1)由ABEDCE可得，AEDE.由ABBEECCD，可知AEBDEC45，所以AED90，故AEED；(2)由HGFDHC可证GHHD，GHHD；由BC2，可知BEEC1，又EFk，当CHk时可得CHFGk，从而证明HFGDCH，得到GHHD，GHHD.【学生解答】(1)AEED，AEED；(2)由题意，BC90，ABBEECDC.EGF与EAB位似且相似比是12，GFEB90，GFAB，EFEB.GFEC.EHHCEC.GFHC，FHFEEHEBECBCECCD.HGFDHC.GHHD，GHFHDC.又HDCDHC90，GHFDHC90，GHD90，GHHD；CH的长为k.GHHD，GHHD，FHGDHC90，FHGFGH90，FGHCHD，GFHHCD(AAS)，CHFG，EFFG，EFCH，EGF与EAB的相似比是k1，BC2，BEEC1，EFk，CH的长为k.6(2016河北石家庄四十二中模拟)(1)如图，已知EAC90，AEAC，点A在直线BD上，过E作EDAB于点D，过C作CBBD于点B，证明：以点A为位似中心作AMN与ABC位似，AMN与ABC位似比为12，则_；(2)如图，ABC中，AGBC于点G，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABME和正方形ACNF，分别过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q.以点A为位似中心，作AQH与APE位似，AQH与APE的位似比为1k，猜想CG与BG的数量关系并证明；(3)如图，ABC中，AGBC于点G，分别以AB，AC为一边，向外作矩形ABME和矩形ACNF，分别过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q.若ABmAE，ACmAF，以点A为位似中心，作AQH与APE位似，AQH与APE的位似比为1k，则CG与BG的数量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，说明理由解：(1)；(2).理由如下：四边形ABME是正方形，ABAE，BAE90，BAGEAP90.AGBG，BAGABG90，ABGEAP.EPAG，AGBEPA90，ABGEAP，BGAP.同理可得ACGFAQ，即CGAQ.AQH与APE的位似比为1k，；(3).理由如下：四边形ABME是矩形，BAE90，BAGEAP90.AGBC，BAGABG90，ABGEPA.AGBEPA90，ABGEAP，.ABmAE，即BGmAP，同理ACGFAQ，.ACmAF，即CGmAQ，.AQH与APE位似比为1k，.7(2016保定十七中二模)如图，RtABC中，BAC90，ABAC，ABC的平分线交直线AC于点D，过点C作CEBD，交直线BD于点E.请探究线段BD与CE的数量关系(事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题)(1)结论：线段BD与CE的数量关系是_；(请直接写出结论)(2)类比探索在(1)中，如果把BD改为ABC的外角ABF的平分线，其他条件均不变(如图)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)中，如果ABAC，且ABnAC(0n1)，其他条件均不变(如图)，请你求出BD与CE的数量关系(用含n的代数式表示)图解：(1)BD2CE；(2)BD2CE仍然成立理由如下：如图延长CE，AB交于点G.ABDFBD，ABDGBE，FBDCBE，GBECBE.又BEBE，GEBCEB90，GBECBE(ASA)，GECE，CG2CE.DDCGGDCG90，DG.又DABGAC90，ABAC，DABGAC，BDCG2CE；图(3)如图，延长CE，AB交于点G.ABDFBD，ABDGBE，FBDCBE，GBECBE.又BEBE，GEBCEB90，GBECBE(ASA)，GECE，CG2CE.DDCGGDCG90，DG.又DABGAC90，DABGAC，.ABnAC，BDnCG2nCE.与图形折叠平移有关的证明【经典导例】【例3】(2014河北中考)图和图中，优弧所在O的半径为2，AB2.点P为优弧上一点(点P不与点A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是_，当BP经过点O时，ABA_；(2)当BA与O相切时，如图，求折痕BP的长；(3)若线段BA与优弧只有一个公共点B，设ABP，确定的取值范围【解析】(1)作垂线OC，即为O到AB的距离根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解(2)由(1)得OC长度以及半径OB长度，即可求出OBC的正弦值，从而求得OBC.再利用ABP与OBC的关系求出OBP的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可(3)如解图所示：在折叠过程中，BP的4个特殊位置，点A落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA与圆心O的位置可确定的范围【学生解答】(1)1；60.如图，解法提示：过点O作OCAB，垂足为点C，连接OA，则OCA90，ACAB2.OA2，OC1.当BP经过点O时，在RtOCB中，sinOBC，OBC30，根据折叠的性质可得，ABA2OBC23060；(2)如图，作OCAB于点C，连接OB，BA与O相切，OBA90，在RtOBC中，OB2，OC1，sinOBC，OBC30，ABPABA(OBAOBC)60，OBP30.作ODBP于点D，则BP2BD.BDOBcos30，BP2；(3)点P，A不重合，0.由(1)得，当增大到30时，点A在上，当030时，点A在O内，线段BA与只有一个公共点B.由(2)知，增大到60时，BA与O相切，即线段BA与只有一个公共点B.当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合，OBP90.OBAOBP，OBA30，120.当60120时，线段BA与只有一个公共点B.综上所述，的取值范围是030或60120.【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1)、(2)问情况的综合在分类讨论的最大取值时，很难想象出优弧完全折叠过去时的情况，即P点即将与B点重合时的数值，可以先在图中画出点P、B重合时的情况，重合时为一个临界点，找到此临界点，再使小于此临界点即可解决8(2016唐山九中二模)如图，两个全等的ABC和DEF重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：(1)如图，DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系；(2)如图，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么ABC应满足什么条件？请给出证明；(3)在(2)的条件下，将DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sinCGF的值解：(1)SABCS四边形AFBD；(2)ABC为等腰直角三角形，即：ABAC，BAC90.证明：点F为BC的中点，CFBF.CF AD，AD BF.又ADBF，四边形AFBD为平行四边形ABAC，F为BC的中点，AFBC，平行四边形AFBD为矩形BAC90，F为BC的中点，AFBCBF，四边形AFBD为正方形；(3)正确画出图形，如解图由(2)知，ABC为等腰直角三角形， 则DEF为等腰直角三角形，AFBCFBBCEFBE，AGAF，设CFk，则GFEFCB2k，由勾股定理，得：CGk，则sinCGF.9(2016邯郸二十五模拟)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)过边OA上的动点M(点M不与点O，A重合)作MNAB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为A.设OMm，折叠后的AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.(1)如图，当点A与顶点B重合时，求点M的坐标；(2)如图，当点A落在第二象限时，AM与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；(3)当S时，求点M的坐标(直接写出结果即可)解：(1)在RtABO中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)，OA，OB1.由OMm，得AMOAOMm.根据题意，由折叠可知BMNAMN，有BMAMm.在RtMOB中，由勾股定理，BM2OB2OM2，得(m)21m2，解得m.点M的坐标为(，0)；(2)在RtABO中，tanOAB，OAB30，由MNAB，得MNA90.在RtAMN中，得MNAMsinOAB(m)，ANAMcosOAB(m)SAMNMNAN(m)2.由折叠可知AMNAMN，有AOAB30，AMOAOAB60.在RtCOM中，得COOMtanAMOm.SCOMOMCOm2，又SABOOAOB，于是，SSABOSAMNSCOM(m)2m2，即Sm2m(0m)；(3)(，0)与尺规作图有关的问题【经典导例】【例4】(2014河北中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG；(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； (4)当时，请直接写出的值【解析】(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DEDG；(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心，以DG为半径画弧交于点F，得到正方形DEFG；(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；(4)设CEx，由已知，表示出CB及CD，利用勾股定理求出DE2，进而得到，即为所求【学生解答】解：(1)四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90.又CEAG，DCEDAG，DEDG，EDCGDA.又ADEEDC90，ADEGDA90，DEDG；(2)如解图；(3)四边形CEFK为平行四边形证明：设CK，DE相交于M点，如解图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD，四边形CKGD为平行四边形，CKDGEF，CKDG.KMEGDEDEF90.KMEDEF180.CKEF.四边形CEFK为平行四边形；(注：由CKDG、EFDG得CKEF也可)(4).解法提示：，设CEx，CBnx，CDnx，DE2CE2CD2x2n2x2(n21)x2，BC2n2x2，.【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明10(2016济宁中考)如图，在ABC中，ABAC，DAC是ABC的一个外角实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)(1)作DAC的平分线AM；(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E；猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明解：(1)(2)作图略；猜想：四边形AECF是菱形证明：ABAC，AM平分CAD.BACB，CAD2CAM，CAD是ABC的外角，CADBACB，CAD2ACB，CAMACB.AFCE.EF垂直平分AC，OAOC，AOFCOE90，AOFCOE，AFCE，在四边形AECF中，AFCE，AFCE，四边形AECF是平行四边形，又EFAC，四边形AECF是菱形11(2016张家口九中模拟)(1)如图，已知ABC，以AB，AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BECD；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)(2)如图，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC45，CAE90，ABBC100 m，ACAE，求BE的长图解：(1)完成图形，如解图所示：证明：ABD和ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB，在CAD和EAB中，CADEAB(SAS)，BECD；(2)BECD，证明：四边形ABFD和ACGE均为正方形，ADAB，ACAE，BADCAE90.CADEAB，在CAD和EAB中，CADEAB(SAS)，BECD；图(3)由(1)，(2)的解题经验可知，如解图，过点A作等腰直角三角形ABD，连接BD，BAD90，则ADAB100 m，ABD45，BD100 m，连接CD，则由(2)可得BECD.ABC45，DBC90，在RtDBC中，BC100 m，BD100 m，根据勾股定理得：CD1002100 m，则BECD100 m.12(2016石家庄二十八模拟)探究并证明以下问题：(1)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOB60，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF，连接BF，求证：BFOP；(2)如图，在正方形ABCD，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连接BF，直接写出BF与CP的数量关系_BFCP_；(3)如图，在菱形ABCD中，ABACmn，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AEPM，满足ABCAFP，连接BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论解：(1)四边形ABCD为矩形，OAOB，AOB60，AOB是等边三角形，ABAO，PAO60BAP，在FAB和PAO中，FABPAO(SAS)，BFOP；(3)BFCP.理由：四边形ABCD为菱形，BABC，BAC(180ABC)，四边形AFPM是菱形，PFAF，FAP(180AFP)，ABCAFP，BACFAP，FAPBAC，即，FABFAPBAP，PACBACBAP，FABPAC，又ABCAFP，FABPAC，即BFCP.13(2016沧州八中二模)(1)问题发现如图，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为_60_；线段AD、BE之间的数量关系为_ADBE_；(2)拓展探究如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE.请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图，在正方形ABCD中，CD.若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离解：(2)AEB90；AEBE2CM.理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE.ACDBCE.ADBE，BECADC135，AEBBECCED1354590.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，CMDMME，DE2CM.AEDEAD2CMBE；(3)或.
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