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专题三动态变化问题1动态问题为河北中考的常考点，近8年共考查8次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且都是以解答题形式出现，分值为912分2考查类型：(1)几何图形中的动点问题(2012年25题，2010年25题，2009年26题)；(2)一次函数中的动点问题(2013年23题)；(3)二次函数中的动点问题(2011年26题)预计2017年河北中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低,中考重难点突破)一次函数中的动点问题【经典导例】【例1】(2013河北中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：yxb也随之移动，设移动时间为t秒(1)当t3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上【解析】(1)，(2)求出直线与y轴的交点，以及P点坐标与t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可【学生解答】(1)直线yxb交y轴于点P(0，b)，由题意，得b0，t0，b1t，当t3时，b4.yx4；(2)当直线yxb过M(3，2)时，23b，解得b5，51t，t4.当直线yxb过N(4，4)时，44b，解得b8.81t，t7.当点M，N位于l的异侧时，4t7；(3)t1时，落在y轴上；t2时，落在x轴上【方法指导】k、b对一次函数图象ykxb的影响：当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小；k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与x轴的夹角就越大；b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单位长度得到(当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)；直线yk1xb1、yk2xb2的几种位置关系：平行：k1k2，b1b2；重合：k1k2，b1b2；关于y轴对称：k1k20，b1b2；关于x轴对称：k1k20，b1b20；垂直：k1k21.1(2016邯郸二十五中一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(0，5), (0，2)，(4，2)，直线l的解析式为y kx54k(k 0)(1)当直线l经过点B时，求一次函数的解析式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D; (3)直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点， 且NBD为等腰三角形，试探究： 当函数y kx54k为正比例函数时，点N的个数有_个； 点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围解：(1)将点B(0，2)代入ykx54k，得k.直线l的解析式为yx2；(2)由题意可得，点D坐标为(4，5)，把x4代入ykx54k，得y5，不论k为何值，直线l总经过点D；(3)2；当k2时，有3个点；当k2时，有2个点；当k时，有0个点；当 0x0，则开口向上，在x1取最大值ymaxa(1)24a(1)3a(106)a，又ymax22，(106)a22.解得a.若a0，则开口向下，在x2取最大值22，即4a2bc22，解得a22.综上，所求a的值为或22.二次函数中的动点问题【经典导例】【例2】(2011河北中考)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动t(t0)秒，抛物线yx2bxc经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，5)，D(4，0)(1)求c、b；(用含t的代数式表示)(2)当4t5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M，N.在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围【解析】(1)由抛物线yx2bxc经过点O和点P，将点O与点P的坐标代入方程即可求得c，b；(2)当x1时，y1t，求得点M的坐标，则可求得AMP的度数；由SS四边形AMNPSPAMSDPNS梯形NDAMSPAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t的取值范围【学生解答】(1)把x0，y0代入yx2bxc，得c0，再把xt，y0代入yx2bx，得t2bt0，t0，bt；(2)不变，抛物线的解析式为：yx2tx，且点M的横坐标为1，当x1时，y1t，M(1，1t)，AM|1t|t1，OPt，APt1，AMAP，PAM90，AMP45；SS四边形AMNPSPAMSDPNS梯形DNMASPAM(t4)(4t16)(4t16)(t1)3(t1)(t1)t2t6.解t2t6，得t1，t2，4t5，t1(舍去)，t；(3)左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方，则有4y23，2y31，即442t3，293t1，t4且t，解得t；左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是t.4(2016保定八中三模)已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线yax2bxc(a0)经过点D. (1) 如图，若该抛物线经过原点O，且a.求点D的坐标及该抛物线的解析式；连接CD，在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图，若该抛物线yax2bxc(a0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围. 解：(1)过点D作DFx轴于点F, DBFABO90，BAOABO90，DBFBAO.又AOBBFD90， ABBD，AOBBFD(AAS)，DFBO1，BFAO2，点D的坐标为(3，1). 根据题意得a，c0，且a32b3c1, 解得b， 抛物线的解析式yx2x. 点C，D的纵坐标都为1, CDx轴BCDABO，BAO与BCD互余. 若要使得POB和BCD互余，则只要满足POBBAO. 设点P的坐标为(x，x2x), i当点P1在x轴上方时，如答图，过点P1作P1Gx轴于点G, 则tanP1OBtanBAO，即.，解得x1，x20(舍去). 将x代入得x2x. 点P1的坐标为(，). ii.当点P2在x轴下方时，如答图，过点P2作BHx轴于点H, 则tanP2OBtanBAO，即. ，解得x10(舍去)x2.将 x代入抛物线解析式得x2x. 点P2的坐标为(，). 综上所述，在抛物线上存在点P，使得POB与BCD互余，点P的坐标为(，)或(，)；(2)该抛物线yax2bxc(a0)经过点E(1，1)，D(3，1)，抛物线的解析式为ax24ax3a1.若要使得QOB和BCD互余，则只要满足QOBBAO，据此分a0两种情况讨论a的取值范围为a.5(2016河北中考)如图，抛物线L：y(xt)(xt4)(常数t0)与x轴从左到右的交点为B，A, 过线段OA的中点M作MPx轴，交双曲线y(k0，x0)于点P，且OAMP12.(1)求k值；(2)当t1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标；(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4x06，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围解：(1)设点P(x，y)，则MPy，由OA的中点为M知OA2x，代入OAMP12，得2xy12，即xy6，kxy6；(2)当t1时，令y0，0(x1)(x3)，x11，x23，由B在A左边，得B(3，0)，A(1，0)，AB4.L的对称轴为x1，而M为(，0)，MP与L对称轴的距离为；(3)A(t，0)，B(t4，0)，L的对称轴为xt2，又MP为x.当t2，即t4时，顶点(t2，2)就是G的最高点；当t2即t4时，L与MP的交点(，t2t)就是G的最高点；(4)5t8或7t8.与图形中的动态问题【经典导例】【例3】(2016河北中考)如图，A(5，0)，B(3，0)点C在y轴的正半轴上，CBO45，CDAB，CDA90.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒(1)求点C的坐标；(2)当BCP15时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的P随点P 的运动而变化，当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值【学生解答】(1)BCOCBO45，OCOB3.又点C在y轴的正半轴上，点C的坐标为(0，3)；(2)当点P在点B右侧时，如答图.若BCP15，得PCO30. OPOCtan30，此时t4.当点P在点B左侧时，如答图，由BCP15，得PCO60，t的值为4或43；(3)由题意知，若P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP90，从而OCP45，得到OP3，此时t1.当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合， 此时t4.当P与AD相切时，由题意，DAO90，点A为切点PC2PA2(9t)2，PO2(t4)2，于是(9t)2(t4)232，解得t5.6，t的值为1或4或5.6. 【方法指导】本题涉及到的知识有矩形的性质、锐角三角函数、圆的切线的相关知识，需要学生根据题目的条件进行分类讨论，从而确定问题的完整答案6(2016石家庄四十一中二模)如图，已知MON90，A是MON内部的一点，过点A作ABON，垂足为点B，AB3 cm，OB4 cm，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5 cm/s的速度沿ON方向运动，点F以2 cm/s的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动设运动时间为t s(t0)(1)当t1 s时，EOF与ABO是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EFOA.为什么？(3)连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SAEFS四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由解：(1)相似理由如下：当t1，OE1.5 cm，OF2 cm，则OEOF34.ABOB34，OEOFABOB.FOEABO90，EOFABO；(2)无论t为何值，在运动过程中，EOFABO，则FEOOAB.AOBOAB90，则AOBFEO90，OCE90，即EFOA；(3)存在S四边形AEOFSAEFSEOF，SAEFSEOF.EFOA，SEOFEFOC，SAEFEFAC，OCAC，EF垂直平分OA，OEAE.OEt，BE4t，在RtABE中，AB2BE2AE2，32(4t)2t2，解得t，当t时，SAEFS四边形AEOF.7(2016广东中考)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板RtABC与RtADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，ABCADC90，CAD30， ABBC4 cm.(1) 填空：AD_cm，DC_cm；(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿AD, CB的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离；(用含x的式子表示)(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75，sin15)解：(1)2；2.(2)过点N作NEAD于点E，作NFDC的延长线于点F，则NEDF.ACD60，ACB45，NCF75，CNF15，FCx，NEDFx2，点N到AD的距离为(x2)cm；(3)sin75，FNx，PDCP，PFx，SPMNS梯形FNMDSMPDSNPF，y(x2x)(x2)(2x)(x)(x)即yx2x2，即y是x的二次函数：0，当x时，y最大值.二次函数与几何图形【经典导例】【例4】(2016益阳中考)如图，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：OCDOAB；(3)在x轴上找一点P，使得PCD的周长最小，求出P点的坐标【解析】(1)可设顶点求解析式；(2)可先利用函数分别求出C，D坐标，从而利用SSS来证明两三角形全等；(3)可利用轴对称求出C点关于x轴的对称点，再利用相似或直线CD与x轴交点，求出P点坐标【学生解答】解：(1)抛物线顶点为A(，1)，设抛物线对应的二次函数的解析式为ya(x)21，将原点坐标(0，0)代入解析式，得a，抛物线对应的二次函数的解析式为：yx2x；(2)将y0代入yx2x中，得B点坐标为(2，0)，设直线OA对应的一次函数的解析式为ykx，将A(，1)代入解析式ykx中，得k，直线OA对应的一次函数的解析式为yx.BDAO，设直线BD对应的一次函数的解析式为yxb，将B(2，0)代入yxb中，得b2，直线BD对应的一次函数的解析式为yx2.由得交点D的坐标为(，3)，将x0代入yx2中，得C点的坐标为(0，2)，由勾股定理，得：OA2OC，AB2CD，OB2OD.在OAB与OCD中，OABOCD；(3)点C关于x轴的对称点C的坐标为(0，2)，则CD与x轴的交点即为点P，它使得PCD的周长最小过点D作DQy轴，垂足为点Q，则PODQ，CPOCDQ，即，PO，点P的坐标为(，0)8(2016张家口九中二模)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，AB2，与y轴交于点C，对称轴为直线x2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求APC周长的最值解：(1)AB2，对称轴为直线x2，A(1，0)，B(3，0)抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，1，3是方程x2bxc0的两个根由根与系数的关系，得13b，13c，b4，c3，抛物数的函数解析式为yx24x3；(2)连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由(1)知抛物线的函数解析式为yx24x3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，点C的坐标为(0，3)，BC3，AC.点A，B关于对称轴x2对称，PAPB，PAPCPBPC，此时，PBPCBC，当P点在对称轴上运动时，PAPC的最小值等于BC，APC周长的最小值为ACAPPCACBC3.直角三角形、等腰三角形、特殊四边形性质问题【经典导例】【例5】(2016漳州中考)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点B(3，0)，与 y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN/y轴交直线BC于点N，求线MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)可利用待定系数法求二次函数解析式；(2)要先求出MN关于x的函数解析式，利用函数性质求出MN的最大值；(3)注意要分类讨论各种情况【学生解答】(1)点B(3，0)，C(0，3)，在抛物线yx2bxc上，抛物线的解析式yx24x3；(2)令x24x30，则x11，x23，设直线BC的解析式ykxb.点B(3，0)，C(0，3)在直线BC上，直线BC的解析式yx3，设N(x，x3)，则M(x，x24x3)(1x3)，MNx3(x24x3)，当x时，MN的最大值为；(3)存在所有点P的坐标分别是：P1，P2，P3，P4，P5.9(2016石家庄四十二中模拟)如图，已知二次函数的图象过点A(0，3)，B(，)，对称轴为直线x，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取PCMP，MDOM，OEON，NFNP.(1)求此二次函数的解析式；(2)求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数图象的对称轴为直线y，设二次函数的解析式为ya(x)2k.点A(0，3)，B(，)在抛物线上，解得抛物线的解解析式为y(x)2，即yx2x3；(2)连接CD，DE，EF，FC.PMx轴于点M，PNy轴于点N，四边形PMON为矩形，PMON，PNOM.PCMP，OEON，PCOE.MDOM，NFNP，MDNF，PFOD.在PCF与OED中，PCFOED(SAS)，CFDE，同理可证：CDMEFN，CDEF.CFDE，CDEF，四边形CDEF是平行四边形；(3)假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，设矩形PMON的边长PMONm，PNOMn，则PCm，MCm，MDn，PFn.若四边形CDEF为矩形，则DCF90，易证PCFMDC，即，化简得m2n2，mn，即矩形PMON为正方形，点P为抛物线yx2x3与坐标象限角平分线yx或yx的交点将yx代入yx2x3，解得x1，x2，P1(，)，P2(，)将yx代入yx2x3，解得x13，x21，P3(3，3)，P4(1，1)，抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形，这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1(，)，P2(，)，P3(3，3)，P4(1，1)10(2016唐山模拟)如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：yx2经过点B(x，1)与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线yx2bxc的顶点E在直线l上(1)求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式； (2)当抛物线的顶点E(m，n)在直线l上运动时，连接EA，ED，试求EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)设抛物线与y轴交于Q点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)直线l：yx2经过点B(x，1)，1x2，解得x2，B(2，1)，A(2，0)，D(3，0)抛物线经过A，D两点，解得，抛物线经过A，D两点时的解析式为yx25x6；(2)连接EA，ED，顶点E(m，n)在直线l上，nm2，S1(m2)m1，即Sm1(m4)；(3)如图，若以A，C，E，Q为顶点的四边形能成为平行四边形，则ACEQ，ACEQ，作EMy轴交过Q点平行于x轴的直线于点M，则EMQM，EMQCDA，QMAD1，点E的横坐标为1.顶点E在直线l上，y(1)2，或y12，E(1，)或(1，)又当点E坐标为(1，)时，以A，C，E，Q为顶点的四边形不能成为平行四边形，E点坐标为(1，)11(2016潍坊中考)如图，已知抛物线yx2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把点A(0，1)，B(9，10)的坐标代入yx2bxc，得解得所以，抛物线的解析式是yx22x1；(2)ACx轴，A(0，1)，由x22x11，解得x16，x20，C(6，1)，设直线AB的解析式是ykxb(k0)，由解得则直线AB的解析式是yx1.设点P的坐标为(m，m22m1)，则点E为坐标为(m，m1)则EPm1(m22m1)m23m.ACEP，AC6，S四边形AECPSAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACEP6(m23m)m29m(m)2.又6m0，则当m时，四边形AECP面积的最大值是，此时点P的坐标是(，)；(3)由yx22x1(x3)22，得顶点P的坐标是(3，2)，此时PFyFyP3，CFxFxC3，则在RtCFP中，PFCF，PCF45，同理可求EAF45，PCFEAF，在直线AC上存在满足条件的点Q，使CPQ1ABC或CQ2PABC.可求AB9，AC6，CP3，当CPQ1ABC时，设Q1(t1，1)，由，得，解得t14.当CQ2PABC时，设Q2(t2，1)，由，得，解得t23.综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(4，1)或Q2(3，1)
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