中考数学总复习 第三编 综合专题闯关篇 专题四 猜想与证明试题

专题四猜想与证明命题规律1.猜想与证明问题怀化中考近7年共考查5次，都是以解答题的形式出现2考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，与图形的折叠、平移有关命题预测预计2017年怀化中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题.,中考重难点突破)与图形旋转有关的问题【例1】在图至图中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图，若AOOB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图，其中AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图，求的值【学生解答】(1)AOBD，AOBD；(2)如图，过点B作BECA交DO于点E，ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOCBOE，ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45，245，BEBD，EBD90.ACBD.延长AC交DB的延长线于点F，如图，BEAC，AFD90，ACBD；(3)如图，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOEAOC.又OBkAO，由(2)的方法易得BEBD，k.【点拨】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1(2016会同模拟)已知ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B，M，C分别作BDm于点D，MEm于点E，CFm于点F.(1)当直线m经过B点时，如图，易证EM_CF；(不需证明)(2)当直线m不经过B点，旋转到如图、图的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明解：图的结论为：ME(BDCF)，图的结论为：ME(CFBD)图的结论证明如下：如解图，连接DM并延长交FC的延长线于K，易证DBMKCM(ASA)，DBKC，DMKM，由题意知：MEFK，ME(CFCK)(CFDB)；图的结论证明如下：如解图，连接DM并延长交FC于K.易证DBMKCM(ASA)，DBKC，DMKM，由题意知：EMFK，ME(CFCK)(CFDB)与图形相似、位似有关的问题【例2】如图，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE和ED的数量关系为_；AE和ED的位置关系为_；(2)在图中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图和图.在图中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点求证：GHHD，GHHD；在图中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD.(用含k的代数式表示)【解析】(1)由ABEDCE可得，AEDE.由ABBEECCD，可知AEBDEC45，所以AED90，故AEED；(2)由HGFDHC可证GHHD，GHHD；由BC2，可知BEEC1，EFk，当CHk时可得CHFGk，从而证明HFGDCH，得到GHHD，GHHD.【学生解答】解：(1)AEED，AEED；(2)由题意，BC90，ABBEECDC.EGF与EAB位似且相似比是12，GFEB90，GFAB，EFEB.GFEC.EHHCEC.GFHC，FHFEEHEBECBCCD.HGFDHC.GHHD，GHFHDC.又HDCDHC90，GHFDHC90，GHD90，GHHD；CH的长为k，恰好使GHHD且GHHD.理由如下：当GHHD，GHHD时，FHGDHC90，FHGFGH90，FGHDHC，在RtGFH和RtHCD中，GFHHCD，CHFG，EFFG，EFCH，EGF与EAB的相似比是k1，BC2，BEEC1，EFk，CH的长为k.2已知直线MN与线段AB交于点O，点C在直线MN上，且ACN135，以点O为位似中心，作BOD与AOC位似(1)如图，若BOD与AOC的位似比为13，写出AC与BD的数量关系和位置关系；(2)在图中，若BOD与AOC的位似比为11，BEM45，写出AC与BE的数量关系和位置关系，并证明；(3)在图中，若BOD与AOC的位似比为k1，BEM45，求BEAC的值解：(1)ACBD，ACBD31；(2)ACBE，ACBE.证明如下：BOD与AOC位似且位似比为11，AOCBOD，ACOBDO135，ACBD.BDE45，又BEM45，BDEBEM，BDBE，BDBE，ACBE，ACBE；(3)BOD与AOC位似且位似比为k1.AOCBOD，ACOBDO135，BDACk1，BDE45，又BEM45，BDEBEM，BDBE，BDBE，BEACk1.与图形折叠、平移有关的问题【例3】图和图中，优弧AB所在O的半径为2，AB2.点P为优弧AB上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是_，当BP经过点O时，ABA_；(2)当BA与O相切时，如图，求折痕BP的长；(3)若线段BA与优弧AB只有一个公共点B，设ABP，确定的取值范围【解析】(1)作垂线OC，即为O到AB的距离根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解(2)由(1)得OC长度以及半径OB长度，即可求出OBC的正弦值，从而求得OBC.再利用ABP与OBC的关系求出OBP的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可(3)在折叠过程中，BP有4个特殊位置，点A落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA与圆心O的位置可确定的范围【学生解答】解：(1)1；60.解法提示：如解图，过点O作OCAB，垂足为点C，连接OA，则OCA90，ACAB2.OA2，OC1.当BP经过点O时，在RtOCB中，sinOBC，OBC30，根据折叠的性质可得，ABA2OBC23060；(2)如解图，作OCAB于点C，连接OB，BA与O相切，OBA90，在RtOBC中，OB2，OC1，sinOBC，OBC30，ABPABA(OBAOBC)60，OBP30.作ODBP于点D，则BP2BD.BDOBcos30，BP2；(3)点P，A不重合，0.由(1)得，当增大到30时，点A在上，当030时，点A在O内，线段BA与只有一个公共点B.由(2)知，增大到60时，BA与O相切，即线段BA与只有一个公共点B.当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合，OBP90.OBAOBP，OBA30，120.当60120时，线段BA与只有一个公共点B.综上所述，的取值范围是030或60120.【点拨】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1)、(2)问情况的综合在分类讨论的最大取值时，很难想象出优弧AB完全折叠过去时的情况，即P点即将与B点重合时的数值，可以先在图中画出点P、B重合时的情况，重合时为一个临界点，找到此临界点，再使小于此临界点即可解决3(2015天津中考)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)过边OA上的动点M(点M不与点O，A重合)作MNAB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为A.设OMm，折叠后的AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.(1)如图，当点A与顶点B重合时，求点M的坐标；(2)如图，当点A落在第二象限时，AM与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；(3)当S时，求点M的坐标(直接写出结果即可)解：(1)在RtABO中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)，OA，OB1.由OMm，得AMOAOMm.根据题意，由折叠可知BMNAMN，BMAMm.在RtMOB中，由勾股定理，BM2OB2OM2，得(m)21m2，解得m.点M的坐标为(，0)；(2)在RtABO中，tanOAB，OAB30，由MNAB，得MNA90.在RtAMN中，得MNAMsinOAB(m)，ANAMcosOAB(m)SAMNMNAN(m)2.由折叠可知AMNAMN，有AOAB30，AMOAOAB60.在RtCOM中，得COOMtanAMOm.SCOMOMCOm2，又SABOOAOB，SSABOSAMNSCOM(m)2m2，即Sm2m(0m)；(3)(，0)与尺规作图有关的问题【例4】如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG；(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； (4)当时，请直接写出的值【解析】(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DEDG；(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心，以DG为半径画弧交于点F，得到正方形DEFG；(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；(4)设CEx，由已知，表示出CB及CD，利用勾股定理求出DE2，进而得到，即为所求【学生解答】解：(1)四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90.又CEAG，DCEDAG，DEDG，EDCGDA.又ADEEDC90，ADEGDA90，DEDG；(2)如解图；(3)四边形CEFK为平行四边形设CK，DE相交于M点，如解图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD，四边形CKGD为平行四边形，CKDGEF，CKDG.KMEGDEDEF90.KMEDEF180.CKEF.四边形CEFK为平行四边形(注：由CKDG、EFDG得CKEF也可)；(4).解法提示：，设CEx，CBnx，CDnx，DE2CE2CD2x2n2x2(n21)x2，BC2n2x2，.【点拨】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明4(2015丽水中考)如图，已知ABC，C90，ACBC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等(1)用直尺和圆规，作出点D的位置；(不写作法，保留作图痕迹)(2)连接AD，若B37，求CAD的度数解：(1)点D的位置如图所示(D为AB中垂线与BC的交点)；(2)在RtABC中，B37，CAB53，又ADBD，BADB37.CAD533716.5(2015太原中考)如图，ABC是直角三角形，ACB90.(1)尺规作图：作C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法请标明字母(2)在按(1)中要求所作的图中，若BC3，A30，求的长解：(1)如图所示；(2)C切AB于点D，CDAB.ADC90，ACB90，A30，BACD60.在RtBCD中，BC3，CDBCsinB3sin60，的长为：l.6如图，在等边ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作ADN60，直线DN交射线AB于点E，过点C作CFAB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上，NDB为锐角时，如图，求证：CFBECD；(提示：过点F作FMBC交射线AB于点M)(2)当点D在线段BC的延长线上，NDB为锐角时，如图，当点D在线段CB的延长线上，NDB为钝角时，如图.请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；(3)在(2)条件下，若ADC30，SABC4，则BE_8_，CD_4或8_解：(1)如图，在等边ABC中，BCAC，1260，ADN60，ADN426，46.FMBC，CFAB，四边形BMFC为平行四边形，13，45，BCFM，CFBM，65，32，ADCFEM.CDEM，CFBEBMBEEMCD；(2)当点D在线段BC的延长线上时，CFCDBE；当点D在线段CB的延长线上时，CFCDBE.7(2015怀化模拟)探究并证明以下问题：(1)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOB60，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF，连接BF，求证：BFOP；(2)如图，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连接BF，直接写出BF与CP的数量关系_；(3)如图，在菱形ABCD中，ABACmn，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足ABCAFP，连接BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论解：(1)四边形ABCD为矩形，OAOB，AOB60，AOB是等边三角形，ABAO，PAO60BAP，在FAB和PAO中，FABPAO(SAS)，BFOP；(2)BFCP；(3)BFCP.理由：四边形ABCD为菱形，BABC，BAC(180ABC)，四边形AFPM是菱形，PFAF，FAP(180AFP)，ABCAFP，BACFAP，FAPBAC，即，FABFAPBAP，PACBACBAP，FABPCA，FABPAC，即BFCP.