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任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。,科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。,学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.,-华罗庚,第二章解析函数,2.1解析函数的概念,2.2解析函数与调和函数,2.3初等函数,2.1解析函数的概念,一复变函数的导数,二解析函数概念,三柯西-黎曼方程,一、复变函数的导数,1.复变函数的导数,则称在处可导，,是,的邻域内的任意一点，,如果,存在有限的极限值A，,且称A,如果函数在区域D内的每一点都可导，,在D内可导，此时即得的导(函)数,则称,一、复变函数的导数,2.复变函数的微分,则称在处可微，,的邻域内的任意一点，,若在区域D内处处可微，则称在D内可微。,如果存在A，使得,特别地，有,(考虑函数即可),导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。,补,3.可导与可微以及连续之间的关系,由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。,一、复变函数的导数,例1,解,4.求导法则,(1)四则运算法则,一、复变函数的导数,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,4.求导法则,(1)四则运算法则,(2)复合函数的求导法则,(3)反函数的求导法则,其中，与是两个互为反函数的单值,函数，且,一、复变函数的导数,二、解析函数概念,则称在点解析；,(2)如果函数在区域D内的每一点解析，,则称,D,G,z0,(3),函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.,说明,奇点,通常泛指的解析函数是容许有奇点的。,以z=0为奇点。,注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；,注解：,性质,(2)如果函数在z平面上的区域D内解析，,则复合函数在D内解析。,函数在平面上的区域G内解析，,且对D内的每一点z，函数的值都属于G，,二、解析函数概念,因此，仅在点可导，处处不解析。,解,当时，,当时，,因此，处处不可导，处处不解析。,寻求研究解析性的更好的方法,任务！,用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：,和在点处可微，,(简称方程),的充要条件是：,求导公式,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,则,定理（函数在一点可导的充分条件）,三、柯西-黎曼方程,2.区域解析的充要条件,充要条件是：,满足C-R方程。,推论,在区域D内存在且连续，并满足C-R方程，,在区域D内解析。,则函数,可知不满足C-R方程，,有,有,由C-R方程，,由C-R方程，,处处不解析。,所以仅在直线上可导，,由C-R方程可得,求解得,为常数，,证,(常数)；,(2)由解析，,由在D内为常数，,(常数)，,两边分别对x,y求偏导得：,若,若,方程组(A)只有零解，,为常数，,(A),小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用.,注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.,思考题,1、,2、,2.2解析函数与调和函数,一、调和函数,则称为区域D内的调和函数。,且满足拉普拉斯(Laplace)方程：,二、共轭调和函数,条件是：,在区域D内，v是u的共轭调和函数。,则称v是u的共轭调和函数。,且满足C-R方程：,三、构造解析函数,使解析，且满足指定的条件。,(1)u和v本身必须都是调和函数；,(2)u和v之间必须满足C-R方程。,三、构造解析函数,(不妨仅考虑已知实部u的情形),(1)由u及C-R方程,(2)将(A)式的两边对变量y进行(偏)积分得：,其中，已知，而待定。,(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数,得到待定函数v,的两个偏导数：,(C),方法,三、构造解析函数,(1)由u及C-R方程得到待定函数v的全微分：,(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)得到原函数：,其中，或,故是调和函数。,由,由,由,解,(2)求虚部。,由,由,解,(3)求确定常数c,根据条件,将代入得,即得,2.3初等函数,2.3.1指数函数,2.3.2对数函数,2.3.3幂函数,2.3.4三角函数与反三角函数,2.3.5双曲函数与反双曲函数,复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们,两者是一样的。,2.3初等函数,的定义方式尽可能保持一致。,本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：,定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性等等。,特别是当自变量取实值时，,特别要注意与实初等函数的区别。,一、指数函数,记为或,注,(1)指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数,都通过指数函数来定义。,(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：,一、指数函数,性质,(1)是单值函数。,事实上，对于给定的复数,定义中的均为单值函数。,事实上，在无穷远点有,(2)除无穷远点外，处处有定义。,当时，,当时，,(3),因为,性质,(6)是以为周期的周期函数。,一、指数函数,指数函数的图形,二、对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数。,记作,即,计算,令,二、对数函数,显然对数函数为多值函数。,主值(枝),记为,故有,分支(枝),特别地，当时,的主值就是实对数函数。,对于任意一个固定的k，称为的,一个分支(枝)。,二、对数函数,性质,或者指数函数,由反函数求导法则可得,进一步有,(在集合意义下),二、对数函数,性质,三种对数函数的联系与区别：,对数函数Lnz的图形,主值,(2),主值,解,主值,可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。,三、幂函数,称为复变量z的幂函数。,还规定：当a为正实数，且时，,但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，,?,即,讨论,此时，处处解析，且,此时，除原点外处处解析，且,三、幂函数,讨论,其中，m与n为互质的整数，且,(5)当为无理数或复数()时，,此时，除原点与负实轴外处处解析，,一般为无穷多值。,此时，除原点与负实轴外处处解析。,且,三、幂函数,的图形,解,解,可见，不要想当然地认为,四、三角函数,启示,由欧拉公式,有,余弦函数,正弦函数,定义,其它三角函数,四、三角函数,性质,周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；,各种三角公式以及求导公式可以照搬；,有界性(即)不成立。,(略),sinz的图形,cosz的图形,tanz的图形,五、反三角函数,记为,同理可得,反三角函数Arctanz的图形,六、双曲函数与反双曲函数,双曲正切函数,双曲余切函数,双曲余弦函数,双曲函数sinhz（或shz）,六、双曲函数与反双曲函数,反双曲正切函数,反双曲余弦函数,反双曲余切函数,小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.指数函数具有周期性,2.三角正弦与余弦不再具有有界性,3.双曲正弦与余弦都是周期函数,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,本章总结,1、复变函数导数与解析函数的概念,2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义；2）利用充（分）要条件,3、解析函数与调和函数的关系,4、复变初等函数,复变函数,连续,初等解析函数,判别方法,可导,解析,指数函数,对数函数,三角函数,双曲函数,幂函数,本章内容总结,解析函数与调和函数的关系,第二章完,1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。,附：,知识广角关于C-R条件,附：,人物介绍柯西,黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。,附：,人物介绍黎曼,
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