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第十二章非线性动态电路的暂态过程,3数值分析法,1非线性电容与非线性电感,2非线性动态电路的状态方程,6状态平面分析法,4分段线性分析法,5小信号分析法,7平衡状态的稳定性,由前两章得知，描述线性动态电路的方程是线性微分方程。工程上还广泛存在用非线性微分方程来描述的电路，称为非线性动态电路。本章简要介绍一些常用的非线性动态电路计算方法，包括数值分析法、分段线性分析法、小信号分析法和状态平面分析法。结合具体电路讨论平衡状态稳定性的判断方法、介绍跳变与振荡现象。,本章目次,非线性电容：电容器所储存的电荷与极板间电压不成正比关系。,(a),(b),(c),电压电荷关系曲线,基本要求：了解非线性电容与非线性电感的特性。,注：本章不讨论含回线型非线性电容的电路。,电荷与电压关系不能用显函数表示,回线型非线性电容(例如用钛酸钡作介质的电容),电荷与电压关系,(d),非线性电容,流控型,表示为,链控型,表示为,波形为,单调型,表示为,波形为,回线型,无显函数表达,表示为,波形为,非线性电感：穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系。,非线性电感,非线性动态电路：含有非线性元件(独立电源除外)的动态电路。以右为例，列写非线性动态电路的状态方程，过程如下：,由KVL得,代入得,推广到一般,一阶非线性动态电路状态方程的一般形式,状态变量,基本要求：了解非线性动态电路状态方程的列写、一般形式和分类。,非线性RL电路,电路如图所示，设电容的初始电压为，二极管的电压电流关系近似表示为，求时的电压uC。,时的电流为,伯努利方程,两边除以-C,两边除以,或,由已知条件得,其通解为,解得,将K值代入,两边取倒数,电路如图所示，非线性电感是链控型，即，非线性电阻是压控的，即。列出状态方程。,对节点列KCL方程,选电容电压u1和电感磁链2为状态变量。,对回路l列KVL方程,非线性状态方程的标准形式,自治方程(autonomousequation)：方程中不明显地含有时间t的微分方程组。自治网络(autonomousnetwork)：可用自治方程描述的电网络。平衡点(equilibrium)：自治方程的稳态解，即的解。对应的电路状态称为平衡状态。在平衡点处状态变量,推广到一般情况,状态向量,输入向量,V(t)是常量,直流激励或零输入,外加激励是时间函数,非自治方程,非自治网络,数值分析法：根据响应的初始值和t0时的激励，逐步递推响应在离散时刻的近似值。以一阶电路为例介绍如下。,一阶电路状态方程,两边乘以dt再取定积分,基本迭代公式,基本要求：了解教材中介绍的数值分析法的原理和特点。,1前向欧拉法(ForwardEulermethod),如图所示，本法用高度为矩形面积近似代替曲边梯形面积，即令,代入得,前向欧拉法迭代公式,步长：,2后向欧拉法(BackwardEulermethod),如图所示，本法用高度为矩形面积近似代替曲边梯形面积，即令,代入得,后向欧拉法迭代公式,3梯形法(trapezoidalmethod),如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积，即令,代入得,梯形法迭代公式,4预报校正法(predictioncorrectionmethod),对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精度：先用前向欧拉法求出作为预报值，然后把它代入梯形法迭代公式的作校正。其迭代公式为：,电路如图所示，设，非线性电阻特性为(单位：A,V)。试用预报校正法求出0到1s(步长取h=0.2s)各时刻的响应值。,由图列出t0时的电路方程：,代入非线性电阻特性得,根据预报校正法迭代公式得：,%例题12.3的MATLAB语言程序uk=10;h=0.2;%赋初值、设定步长。fort=h:h:1%循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。fk=(-0.1*uk-0.01*uk2);uk1=uk+h*fk;%用前向欧拉法进行预报。fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk12);uk=uk+0.5*h*(fk+fk1);%用梯形法进行校正。t,uk%显示迭代计算值。end%循环结束。,基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。,t0时的电路方程为,R上u，i关系近似为记作i=f(u),以下图为例：,分段线性RC电路,(1)确定动态路径,由,得,i0,du/dt0时的电容电压uC。,(b),t0时由图(a)得：,所以,根据已知初始值uC(0-)=2.5V得,故动态路径的起始点为直线段的P0点。,(a),iIS,duR/dtt1时，动态点位于段上。,直线段的直线方程为：,由此图得：,对应该段的线性电路模型如图(d)。,(d),基本要求：掌握小信号分析法(smallsignalanalysis)分析法的原理和步骤。,小信号分析法主要包括主要步骤：,确定电路平衡状态解答。计算小信号解答。,1计算电路平衡状态解答,小信号电源e不作用,利用直流电路方法,求解平衡状态解如UR、UC和IL,小信号基尔霍夫定律,2计算小信号解答,类似得出结论：各支路电压增量须满足KVL，即,上两代数和中包括小信号电流(压)源。,由KCL得,平衡状态时,所以得,元件方程的增量形式,动态电容,动态电阻或动态电导,动态电感,综上所述，由小信号电源作用所产生的小信号电压、电流分别服从KCL和KVL，小信号元件方程为近似的线性方程。据此可作出线性的小信号等效电路，如右图所示。其中e为小信号电源，各非线性元件均用其动态参数表示。解此线性电路便可得到小信号的近似解。,把平衡状态解答与小信号解答相加便得到电路的近似全解,图为非线性动态电路，设非线性电阻电压电流关系为iR=1.38910-3uR2，(uR0)(单位：A，V)，非线性电感=1.06710-3iL2(单位：Wb，A)，直流电压源US=60V，阶跃电压源uS=3(t)V。求t0时的响应uR。,动态电阻和动态电感分别为,画出直流电源单独作用时计算平衡状态的等效电路如图，求得,代入三要素公式得,平衡状态解答与小信号解相加得,小信号线性等效电路如图所示。它是一阶线性动态电路，并且为零状态。由图得,基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹的画法。,状态平面：以(x1，x2)为坐标点的x1x2平面。状态轨迹：将t看作参变量，并设t=0+，t1，t2，对应x1和x2将在x1x2平面上描绘出一条以x1(0+)，x2(0+)为起点的轨迹，称为状态轨迹。状态平面分析法：在状态平面上绘制状态轨迹，通过分析状态轨迹的几何性质，进而研究动态电路的特性的方法。,如果已知状态变量的初始值和，由式(12.29)可求得t0时的解，记作,(12.30),(12.29),设二阶非线性自治电路的状态方程为,绘制状态轨迹的方法：,在给定初始值x1(0+)及x2(0+)的情况下，求出微分方程(12.31)的解x2=F(x1)，根据这一解答画出状态轨迹。,(1)求出方程(12.29)的解x1(t)和x2(t)，令t=0+，t1，t2，求出相应的x1和x2便可绘制状态轨迹。,画出图示电路的状态轨迹。,(5),上式表明状态轨迹是垂直半轴为K1、水平半轴为K2的椭圆。K1、K2与初始值有关，不同的初始值对应不同的椭圆轨迹，,画出的。由上式得知，当iL0时，duC/dt0，uC递增。所以状态轨迹方向为顺时针。,如图所示，图中状态轨迹的方向是根据,1利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性,(a)(b),稳定平衡状态,不稳定平衡状态,总结：如果平衡状态附近的动态路径方向均指向平衡状态，则该平衡状态是稳定的；否则是不稳定的。,基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。,平衡状态的稳定性：若由于某种扰动使电路工作状态偏离了平衡状态，扰动结束后，如果电路能够恢复到原来的平衡状态，则称该平衡状态是稳定的；否则为不稳定的。,图(a)为一弧光灯电路，US为直流电压源，弧光灯为一非线性电阻，其特性为流控型，记作u=u(i)，如图(b)所示。判断平衡状态的稳定性。,(a)(b),利用图解法解上述方程，求得各平衡状态M、A、B点。,先确定全部平衡状态。由于在平衡状态时di/dt=0，有,(12.32),由上式可判定M和B对应稳定平衡状态；而A对应不稳定平衡状态。,(2)确定动态路径。设电路处于非平衡状态，其KVL方程为,或写作,(12.33),2利用小信号分析法判断平衡状态的稳定性,其中I(s)表示i的象函数，U(s)表示US的象函数。由式(12.34)求得小信号等效电路的网络函数为,(12.35),设例12.7电路处于平衡状态时受到微小扰动，记作uS，它叠加在US上。Rd为动态电阻，Rd=du/dt，则该电路的小信号等效电路如下图所示。,(12.34),其复频域响应：,为网络函数的极点。,(12.35),在11.6节中讨论了网络函数极点位置与单位冲激特性的关系，并已得出：网络函数极点位置决定了冲激响应的稳定性。在本示例中三个平衡状态对应三个动态电阻，故极点有三种情况，分别讨论如下：(1)在平衡状态M处，动态电阻Rd0，极点pR，所以极点p0，位于s平面的右半平面，A点是不稳定平衡状态。(3)在平衡状态B处，动态电阻Rd0，但|Rd|R，所以极点p0，位于s平面的左半平面，B点是稳定平衡状态。,上述方法推广得出用小信号分析法判断平衡点稳定性的方法：当平衡状态处小信号等效电路网络函数全部极点位于s平面的左半平面时，该平衡状态是稳定的；只要有一个极点位于s平面的右半平面，此平衡状态就是不稳定的。,自激振荡(self-excitedoscillation)：在电路中产生与初始条件无关的周期变化的电压、电流。其原因是由于在电容元件中周期性地缓慢积累能量和迅速释放能量的结果。因此这种振荡也称为张弛振荡。,自激振荡现象,（C）,de段等效电路,（d）,电压u2的振荡波形,
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