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1,线性代数,上课时间:11-12学年度第一学期;9-18周周二周四,上课地点:东九,课程类型:必修(考试).,教学方法:课堂授课.,主讲教师:刘早清,总学时数:40,2,参考书:线性代数学习辅导与习题全解华中科大.二版高等教育出版社。,作业:每周四交(以小班为单位、学习委员负责收)考试成绩:作业(20%)+卷面(80%)联系方式:问题及建议:liuzaoqing166课件下载:liuzaoqing1688(mm123456),3,第一章行列式,一.二(三)阶行列式,二.余子式、代数余子式,三.n阶行列式的定义,四.行列式的性质,五.行列式按一列(行)展开,六.Cramer法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,(定义),行列式的应用,基本内容概要,4,1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式的定义,求解二元线性方程组:,由消元法,得,得,同理,得,于是,当,时,方程组有唯一解,1.引入,5,2.为便于记忆,引进记号,称记号,为二阶行列式,数,称为元素,为行标,表明元素位于第行,为列标,表明元素位于第列,记号解读:,6,因此,上述二元线性方程组的解可表示为,再记,则,7,注:,(1)二阶行列式算出来是一个数。,(2)记忆方法:对角线法则,主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积,主对角线,副对角线,如:,例1,8,1.1.1(补充)三阶行列式,定义,将二阶行列式记号推广,记,称为该数表所确定的三阶行列式.,9,注:,(1)三阶行列式算出来也是一个数。,(2)记忆方法:对角线法则,三阶行列式的计算,注意红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号,10,例:,评注(1)此行列式中所有元素非零但行列式为零。(2)此行列式中行与行、列与列之间有规律。,11,规律:,是3!个项的代数和每一项都是三个不同行、不同列的元素的乘积每一项都带有确定的符号,考察通项:,是1,2,3所有可能的排列。,下面我们再来分析一般三阶行列式的规律。,注:有了一般三阶行列式的定义后,也可以写出一般三元一次方程组的解的一般公式。,12,1.1.2n阶行列式的定义1.将上面的三阶行列式概念直接推广到n阶行列式有难处1)有多少项?2)每一项的构成?3)每一项的符号的确定?2.n阶行列式的记号,3.余子式,代数余子式,13,定义:,在n阶行列式中,把元素,所在的第i行和,第j列划去后,余下的n1阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如:,14,注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。,15,4.n阶行列式的定义(值)(用归纳法)定义1.1当n=1时当n1时,16,注(1)上述定义n阶行列式(值)依不依赖于列的选取?(否)(2)可不可以用行展开来定义n阶行列式(可以),例当n=3时,可以验证下列等式,17,同样也可以验证上述定义n阶行列式(值)也是不依赖于列(行)的选取,18,例2计算,注:按第三行和第一列展开行列式计算简单,19,(1),(2),例3几个简单重要行列式:,对角行列式:,20,(3),上三角形行列式(主对角线下侧元素都为0),(4),下三角形行列式(主对角线上侧元素都为0),21,定理1.1D为n阶行列式,注:此定理叫行列式按列展开定理,同样行列式也可以按行展开,22,1.2行列式的性质与计算1.2.1行列式的性质,性质1:,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,23,证对行列式的阶数用数学归纳法,当n=1时,结论显然成立,假设n-1时,结论成立,下证对n行列式结论亦成立。,则,记,24,将D依第j列展开,便有,将D与,分别对j和i从1到n求和得,得,即,25,说明:行列式中行与列地位相同,对行成立的性质对列也成立,反之亦然。,推论:行列式亦可按行展开,26,性质2:,互换行列式的两行(列),行列式的值变号。,证明:,设,交换i、j两行,得,i行,j行,27,证对行列式的阶数用数学归纳法,当n=2时,,设是由行列式D交换第i行与第j行元素后得到的行列式,下证D=。对其阶数用数学归纳法,结论成立.,假设n-1时,结论成立,下证对n行列式结论亦成立。,由于n=2时以证,假设n2,则存在k(异于i,j)将D与按第k行展开,记,由归纳假设以证,28,即有,故,推论:,如果行列式有两行(列)相同,则行列式为0。,证明:,把相同的两行互换,有DD,所以D0,29,性质3:,用数k乘行列式的某一行(列)中所有元素,等于用数k乘此行列式。,推论:,行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号外面。,推论:,若行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于0。,30,性质4:,即,如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。,31,32,性质5:,行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一数k后再加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。,证明:,33,得,34,利用行列式性质计算:,目标,化为三角形行列式,例4,计算,解:,35,36,行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,性质6:,证明:,由行列式展开定理,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。,在,中,如果令第i行的元素等于另外一行,例如第k行的元素,37,则,,第i行,右端的行列式含有两个相同的行,值为0。,38,例5计算五阶行列式(其空白处全为0,同样可计算n阶下列形式的行列式),1.2.2行列式的计算,注.利用行列式性质及展开定理计算行列式的例题,39,解法1,40,解法2,41,例6,42,43,例7,箭形行列式,目标:把第一列化为,成三角形行列式,44,例8,箭形行列式,45,46,例9,(可以化为箭形行列式),47,48,例10,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,等式右边:,49,证明:,用数学归纳法,(1)当n=2时,结论成立。,(2)设n1阶范德蒙德行列式成立,证n阶也成立。,50,n-1阶范德蒙德行列式,51,证毕。,52,思考题:,求第一行各元素的代数余子式之和,53,思考题:,求第一行各元素的代数余子式之和,解:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,54,一、问题引入,1.用消元法解二元线性方程组,1.3Cramer法则,记,当,时,55,用加减消元法可得二元线性方程组的解:,2、问题:二元线性方程组的上述解公式可否推广到n元线性方程组?,56,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,1、非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念,二、n元非齐次方程组与Cramer法则,57,如果线性方程组,的系数行列式不等于零,即,2、克拉默(Cramer)法则,定理1.3,58,那么线性方程组有解,并且解是唯一的,且解可以表示为,其中:,证明,59,证明,在把个方程依次相加,得,60,由代数余子式的重要性质,于是,当时,方程组则有唯一的一个解:,61,例1用克拉默则解方程组,解,62,63,三、齐次线性方程组的相关定理,定理1.3*,64,必有非零解.,另外,以后将证明:若系数行列式,定理1.4齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零.,65,例2齐次方程组,有非零解,问k满足什么条件?,66,解,齐次方程组的系数行列式为,如果齐次方程组的有非零解,,则,D=0,于是,K=1,
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