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4.4相似三角形,了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念,了解黄金分割.了解图形相似的概念,了解相似多边形和相似比,理解相似三角形的概念和性质.理解并掌握两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单实际问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,比例线段和比例的性质1.线段的比和比例线段(1)线段的比:用同一个长度单位去度量两条线段a,b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或ab.(2)比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即(或ab=cd),那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.2.线段的比例中项在线段a,b,c中,如果ab=bc,那么线段b叫做线段a,c的比例中项,此时有b2=ac.3.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,拓展延伸,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【答案】B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.2.推论(三角形一边的平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,典例2(2018广西梧州)如图,AGGD=41,BDDC=23,则AEEC的值是()A.32B.43C.65D.85,【答案】D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,提分训练1.如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1l2l3,若AB=4,AC=6,DF=9,则DE=()A.5B.6C.7D.8,B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,知识拓展平行线分线段成比例基本事实的一个推论如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.该推论可用来证明两直线平行,有令人耳目一新,另辟蹊径之感.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,提分训练2.如图,已知点D,F在ABC的边AB上,点E在边AC上,且DEBC,要使得EFCD,还需添加一个条件,这个条件可以是(),C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,相似三角形的判定(8年8考)1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的判定(1)平行法:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.(2)两角分别相等的两个三角形相似.(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)三边成比例的两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,3.相似基本图形(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”“X型”).,(2)“斜交型”的相似三角形(需满足1=2,有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,(3)“垂直型”(有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型”“三垂直型”).,特别提醒这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不能仅局限于以上这几种情况.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,典例3(2018亳州利辛县模拟)在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与ABC相似的是(),考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,【答案】D【方法指导】求解此类问题时,一定要善于从条件和图形入手,分析已知与未知之间的联系,能通过适当的辅助线,将问题转化,并及时发现、运用所学知识.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,【变式拓展】在图(1)、(2)所示的ABC中,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪开(裁剪办法已在图上标注),对于各图中剪下的两个阴影三角形而言,下列说法正确的是()A.只有(1)中的与ABC相似B.只有(2)中的与ABC相似C.都与ABC相似D.都与ABC不相似【解析】图(1)中ABAC=23,而阴影部分三角形夹B的两边的比为23,AB,据此可知图(1)阴影部分三角形与ABC不相似;图(2)ABC中ABAC=23,阴影部分夹A的两边的比为23,据此知图(2)中阴影部分三角形与ABC相似.,B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,考点4相似三角形的性质(8年8考)1.相似三角形的对应角都相等、对应边都成比例.2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.相似三角形周长的比等于相似比.4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.特别提醒(1)相似三角形的相似比k具有顺序性,甲与乙的相似比是k,则乙与甲的相似比是;(2)利用相似三角形的性质,可以证明角相等、线段成比例,也可以求三角形的周长、边长、面积等.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,典例4(2018江苏常州)如图,在ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是.,【解析】如图1所示,过点P作PDAB交BC于点D或PEBC交AB于点E,则PCDACB或APEACB,此时0AP4;,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,如图2所示,过点P作APF=B交AB于点F,则APFABC,此时0AP4;,如图3所示,过点P作CPG=CBA交BC于点G,则CPGCBA,此时CPGCBA,当点G与点B重合时,CB2=CPCA,即22=CP4,CP=1,AP=3,此时3AP4.,综上所述,AP长的取值范围是3AP4.【答案】3AP4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,【方法指导】要求两条线段的比或证明成比例线段或证明线段的等积式,一般先证明这几条线段所在的两个三角形相似,再利用相似三角形的性质求解.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,提分训练3.(2018蚌埠怀远县模拟)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.翻折C,使点C落在斜边上某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).若CEF与ABC相似,则AD的长为.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,初高中衔接角平分线分线段成比例定理三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.可以应用相似三角形对这个定理进行证明.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,提分训练5.已知:如图,在ABC中,点D,G分别在边AB,BC上,ACD=B,AG与CD相交于点F.,【答案】(1)ACD=B,CAD=BAC,ACDABC,ACAB=ADAC,AC2=ADAB.(2)ACDABC,ADF=ACG.,命题点与相似三角形有关的证明与计算(必考)1.(2016安徽第8题)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为(),B,2.(2016安徽第23(2)题)详见专题三典例33.如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.(2)求证:AGDEGF;(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.,
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