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第三章振动(CHAPTER3VIBRATION),振动,电磁振动（Electromagneticvibration）,机械振动（mechanicalvibration）,振动(vibration)是自然界中一种十分普遍的运动形式。物体在平衡位置附近来回往复的运动，称为机械振动（mechanicalvibration）。在振动中，最简单、最基本的振动是简谐振动，其他任何复杂的振动都可以看成是由若干简谐振动合成的结果。,第三章振动学基础,第四章振动学基础,1.掌握简谐振动的运动方程，能够根据给定的初始条件确定运动方程。2.掌握矢量图表示法，掌握两个同方向简谐振动的合成规律。3.理解两个相互垂直简谐振动的合成规律。,学习目标,第一节简谐振动,描述物体运动状态的物理量如位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐运动或简谐振动（simpleharmonicmotion）。,一、简谐振动运动学方程,弹簧振子：一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。,小幅振动满足胡克定律：F=kx,物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。,由牛顿第二定律：kx=ma,令,微分方程的解就是运动方程:,上式即：ma+kx=0或：,这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simpleharimonicvibration)。,第一节简谐振动,A振幅(amplitude),离开平衡位置的最大位移。,三个重要的特征量,角频率（或称圆频率）(angularfrequency),在2秒时间内完成全振动的次数。,初相(initialphase),反映初始时刻振动系统的运动状态。,二、简谐振动中的特征量,第一节简谐振动,振动的相位(phase),(t+)称为振动的相位，t=0时刻的相位为初相。,1、用“相位”描述物体的运动状态。2、用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。,频率：1秒内完成全振动的次数，单位：Hz。周期T：完成一次全振动所经历的时间,单位s。,频率与周期(frequency&period),第一节简谐振动,速度和加速度,以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律，但与位移有相位差：速度超前位移/2，加速度与位移反相,振动曲线,第一节简谐振动,x,t,0,T/2,T,3T/2,2T,A,A,v,t,0,T,2T,A,A,a,t,0,T/2,T,3T/2,2T,A2,A2,简谐运动的位移、速度和加速度随时间变化的比较，注意三者之间的相位关系。,第一节简谐振动,简谐振动的动力学方程,物体作简谐振动的动力学方程,判别简谐振动的依据：,1、运动表达式为x=Acos(t+)，其中A、和是常数。,2、作用力的形式为F=kx，k为常系数。,第一节简谐振动,决定于振动系统的动力学性质，叫做系统的固有角频率。,前述的弹簧振子例子：,A，决定于系统的初始条件(t=0),在02内为多值函数，注意取舍！,第一节简谐振动,弹簧振子的劲度系数k=0.72N/m,今将质量m为20g的物体，从平衡位置向右拉长到x=0.040m处释放。试求(l)简谐振动方程；（2）如果物体在x=0.040m处，具有一个向右的速度v=0.24m/s作为初始时刻，求其振动方程。,（1）要确定物体的简谐振动方程，需要确定角频率、振幅A和初相三个物理量。,初始条件：t=0时，物体在x0=0.040m，v0=0。,第一节简谐振动,（2）初始条件：t=0时，物体在x0=0.040m，v0=0.24m/s。,因为t=0时，物体v00,可以确定=/4。,第一节简谐振动,旋转矢量的模为A，t=0时，旋转矢量与x轴的夹角为，旋转矢量的角速度为。,矢量端点在x轴上的投影点作简谐振动！,旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态。,三、简谐振动的矢量图表示法,第一节简谐振动,以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.,以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.,相位差：表示两个相位之差.,1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.,2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）,（1）时，物体所处的位置和所受的力；,解,代入,代入上式得,（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.,法一设由起始位置运动到处所需要的最短时间为,解法二,起始时刻,时刻,单摆(simplependulum),在小幅振动时：,第一节简谐振动,复摆(complexpendulum),令,第一节简谐振动,振子动能,振子势能,振子的总能量为常量！,四、简谐振动的能量,第一节简谐振动,t,x,1、简谐振动系统的机械能守恒。2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。,第一节简谐振动,势能和动能的平均值,简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半。,第一节简谐振动,如图所示，一轻弹簧下端悬挂一质量为1.0kg的物体，其长度伸长了2.45cm达到平衡。从此位置出发物体以初速度1.2m/s向下运动。求(1)轻弹簧的劲度系数；(2)物体的振动方程和振动能量。,（1）弹簧悬挂重物后伸长并达到平衡位置O，此时，物体所受合力为0，则,（2）在位移为x时物体所受合力,可见物体在弹力和重力作用下，合力与位移的关系仍满足简谐振动的动力学特征式，所以物体在做简谐振动。,第一节简谐振动,简谐振动的角频率：,初始条件：t=0时，物体在x0=0，v0=1.2m/s。,因为t=0时，物体在v00,可以确定=/2。,振动方程为：,振动能量为：,第一节简谐振动,1.把弹簧振子装在光滑斜面上，它仍将做简谐振动吗？振动频率仍不变吗？当斜面倾角不同时又如何？,第一节简谐振动,第二节简谐振动的合成,P点的运动就是两个同方向振动的合成,1、两个同方向、同频率简谐振动的合成,一、同方向简谐振动的合成,若两个x方向的简谐振动的角频率都是,同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：,第二节简谐振动的合成,合振动的振幅与初相,第二节简谐振动的合成,相互加强与相互减弱,1、若两振动同相,2、若两振动反相,合振幅最大,合振幅最小,第二节简谐振动的合成,两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动表达式。,两个简谐振动同方向，同频率=2/T，反相,合振动振幅：,合振动初相：,x,合振动的振动表达式：,第二节简谐振动的合成,2、同方向、不同频率简谐振动的合成,因为振动频率不同，参与合成的两个振动的相位差不再恒定，因此，合成的旋转矢量的长度和转动角速度也将不断改变，合成后的运动不再是简谐振动，如图所示。,教材中还给出了上述两个简谐振动在另外两种不同初相位差情况下的合成运动曲线与初相位差还有关系！,第二节简谐振动的合成,3、振动的频谱分析,任何一个复杂的周期性振动都可以分解为一系列简谐振动之和。确定一个振动所包含的各个简谐振动的频率和振幅称为频谱分析。,第二节简谐振动的合成,方波的分解,第二节简谐振动的合成,两个频率相同的简谐振动在相互垂直的两个方向上：,求两者的合振动：消去t得到,上式为椭圆方程，注意上式与两者的相位差有关。,二、相互垂直简谐振动的合成,第二节简谐振动的合成,同频率不同相位差的合运动轨迹,第二节简谐振动的合成,两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时的合振动具有稳定封闭的轨迹图形：李萨如图形,李萨如图形(LissajousFigure),第二节简谐振动的合成,第二节简谐振动的合成,第四章振动学基础,
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