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第七节二次函数的综合应用,考点一线段、周长问题例1(2017东营中考)如图，直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物线yax2bx经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)ACOBCO90，ACOCAO90，CAOBCO.AOCCOB90，AOCCOB，,AO1，点A的坐标为(1，0)(2)抛物线yax2bx经过A，B两点，抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30，当MD取得最大值时，DMH的周长最大,当x时，MD有最大值，DMH周长的最大值为,1如图所示，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标(2)求二次函数的解析式(3)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标,(4)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由,解：(1)A(1，0)，B(7，0)(2)设二次函数的解析式为ya(x1)(x7)过点(0，)，代入得7a.解得a，二次函数的解析式为y(x1)(x7),(3)点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPBPDDB，DB与对称轴的交点即为所求点P.如图，设直线x4与x轴交于点M.PMOD，BPMBDO.又PBMDBO，,BPMBDO，PM点P的坐标为(4，)(4)存在由(2)可得出点C的坐标为(4，)AM3，在RtAMC中，tanACM，ACM60.ACBC，ACB120.,如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QNx轴于点N.如果ABBQ，由ACBABQ得BQ6，ABQACB120，则QBN60，QN3，BN3，ON10，此时点Q的坐标为(10，3),如果ABAQ，由对称性知Q的坐标为(2，3)，经检验，点(10，3)与(2，3)都在抛物线上当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)综上所述，存在这样的点Q，使QAB与ABC相似，点Q的坐标为(10，3)或(2，3)或(4，),考点二图形面积问题例2(2017潍坊中考)如图，抛物线yax2bxc经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.,(1)求抛物线的表达式；(2)当t为何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由,【分析】(1)由A，B，D三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；(2)由题意知l必过平行四边形ABCD的对称中心，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线l的表达式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；,(3)由题意可知有PAE90或APE90两种情况，分别求得t的值即可【自主解答】(1)将点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bxc得抛物线的表达式为yx22x3.,(2)直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，l必过其对称中心(，)由点A，D知，对称轴为x1，E(3，0)，设直线l的表达式为ykxm，代入点(，)和(3，0)得,直线l的表达式为yx.由解得xF.如图，作PHx轴，交l于点M，作FNPH.点P的纵坐标为yPt22t3，点M的纵坐标为yMt.PMyPyMt22t3tt2t.,则SPFESPFMSPEMPMFNPMEHPM(FNEH)(t2t)(3)当t时，PFE的面积最大，最大值的立方根为,(3)由图可知PEA90.若P1AE90，作P1Gy轴，OAOE，OAEOEA45，P1AGAP1G45，P1GAG，tt22t33，即t2t0，解得t1或t0(舍去),若AP2E90，作P2Kx轴，AQP2K，则P2KEAQP2，即t2t10，解得t或t(舍去)，综上可知，t1或t时，存在点P使PAE为直角三角形,2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，3，解得a，抛物线的解析式为yx2x4.当y0时，x2x40，解得x12，x28，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，yx2x44，点C的坐标为(0，4)设直线BC的解析式为ykxb(k0)将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得直线BC的解析式为yx4.,假设存在，设点P的坐标为(x，x2x4)如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，x4)，PDx2x4(x4)x22x，,SPBCPDOB8(x22x)x28x(x4)216.10，当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16.0x8，存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,(3)设点M的坐标为(m，m2m4)，则点N的坐标为(m，m4)，MN|m2m4(m4)|m22m|.又MN3，|m22m|3.当0m8时，有m22m30，解得m12，m26，,点M的坐标为(2，6)或(6，4)当m0或m8时，有m22m30，解得m342，m442，点M的坐标为(42，1)或(42，1)综上所述，M点的坐标为(42，1)，(2，6)，(6，4)或(42，1),考点三动点、存在点问题例3(2018潍坊中考)如图1，抛物线y1ax2xc与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，)，抛物线y1的顶点为G，GMx轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的表达式；,(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，求直线PR的表达式,【分析】(1)应用待定系数法求表达式；(2)设出点T坐标，表示出TAC三边，进行分类讨论；(3)设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可【自主解答】(1)由题意知,抛物线y1的表达式为y1抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B(1，0)，抛物线y2的表达式为y2(x1)2，即y2(2)抛物线y2的对称轴l为x1，设T(1，t)已知A(3，0)，C(0，),如图，过点T作TEy轴于点E，则TC2TE2CE2TA2AB2TB2(13)2t2t216，AC2.当TCAC时，即当TAAC时，得t216，无解；,当TATC时，得，解得t3.综上可知，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为T1(1，)，T2(1，)，T3(1，)(3)设P(m，)，则Q(m，)Q，R关于x1对称，,R(2m，)情况一：当点P在直线l的左侧时，PQ1m，QR22m.又以P，Q，R构成的三角形与AMG全等，当PQGM且QRAM时，m0，可求得P(0，)，即点P与点C重合，,R(2，)设PR的表达式为ykxb，则有即PR的表达式为yx.当PQAM且QRGM时，无解,情况二：当点P在直线l右侧时，PQQR2m2，同理可得P(2，)，R(0，)，PR的表达式为yx.综上所述，PR的表达式为yx或yx.,3(2018泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；,(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由,解：(1)由题意可得二次函数的解析式为yx2x6.,(2)由A(4，0)，E(0，2)，可求得AE所在直线解析式为yx2.如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H.,设D点坐标为(x0，x02x06)，则F点坐标为(x0，x02)，则DFx02x06(x02)x02x08.又SADESADFSEDF，SADEDFAGDFEH4DF,2(x02x08)(x0)2，当x0时，ADE的面积取得最大值.(3)P点的坐标为(1，1)，(1，)，(1，2),考点四二次函数综合题百变例题(2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，,抛物线的解析式为y(x3)(x1)，即yx22x3.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.,A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.又BAMBCO，BOCAON90，AONCOB，ONOB1，N(0，1),设直线AM的函数解析式为ykxb，把A(3，0)，N(0，1)代入得解得直线AM的函数解析式为yx1.同理可求直线BC的函数解析式为y3x3.,解方程组切点M的坐标为(，)(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t，0)，P(m，m22m3)分两种情况考虑：,当四边形BCQP为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，解得m1.当m1时，m22m3822233，即P(1，3)；,当m1时，m22m3822233，即P(1，3)当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.,当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3)综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1，3)或(1，3)或(2，3),变式1：解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.SACDS梯形OCDLSADLSAOC(34)124333，SABCABOC436，SACDSABC3612.,变式2：解：存在理由如下：如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R.四边形BCFE为平行四边形，ERFBOC，,RFOC3，3x22x3，解得x2或x0(与C点重合，舍去)，F(2，3)如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.四边形BCEF为平行四边形，,EFSBCO，FSOC3，3x22x3，解得x11，x21.综上所述，F点为(2，3)或(1，3)或(1，3),变式3：解：设直线AC的解析式为ykx3，则有03k3，解得k1，故直线AC的解析式为yx3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m3)，H(m，m22m3)，GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：解：存在点W的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1)提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC，WBC为等腰三角形：,当BCWC时，解得m0(m6时，W，B，C三点共线，舍去)；当WBWC时，解得m1；当BCWB时，解得m.综上所述，点W的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1),
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