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8.7实践与探究,中考数学(河北专用),一、拓展与探究,好题精练,1.(2018河南,22,10分)(1)问题发现如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空:的值为;AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数,并说明理由.,(3)拓展延伸在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.,解析(1)1.(1分)40.(注:若填为40,不扣分)(2分)(2)=,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分)理由如下:AOB=COD=90,OAB=OCD=30,=,又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD.AOCBOD.(6分)=,CAO=DBO.AOB=90,DBO+ABD+BAO=90.CAO+ABD+BAO=90.AMB=90.(8分)(3)AC的长为2或3.(10分)【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即=,AMB=90.如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析(1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD,AMB=AOB=40;(2)证明AOCBOD,得=,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据=得出AC的长.,方法规律本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据=,再求出AC的两个值.,2.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.,解析(1)PM=PN;PMPN.(2分)(2)等腰直角三角形.(3分)理由如下:由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE,BADCAE.BD=CE,ABD=ACE.(5分)点P,M分别是DC,DE的中点,PM是DCE的中位线.PM=CE且PMCE.同理可证PN=BD且PNBD.PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分)MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN.MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角三角形.(8分)(3).(10分)详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PMPN.,又知PM=EC,所以SPMN=PM2=EC2,所以当EC最大时,SPMN最大.如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14,SPMN的最大值为.,3.(2015湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73),解析【发现证明】证明:ADGABE,AG=AE,DAG=BAE,DG=BE,又EAF=45,即DAF+BEA=EAF=45,GAF=FAE,在GAF和FAE中,AFGAFE(SAS).GF=EF.又DG=BE,GF=BE+DF,BE+DF=EF.【类比引申】BAD=2EAF.理由如下:如图,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,ABC+D=180,ABC+ABM=180,D=ABM,在ABM和ADF中,ABMADF(SAS),AF=AM,DAF=BAM,BAD=2EAF,DAF+BAE=EAF,EAB+BAM=EAM=EAF,在FAE和MAE中,FAEMAE(SAS),EF=EM=BE+BM=BE+DF.即EF=BE+DF.【探究应用】如图,连接AF,延长BA,CD交于点O.,易知AOD=90,在RtAOD中,ODA=60,OAD=30,AD=80米,AO=40米,OD=40米,OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,在RtOAF中,AO=OF,OAF=45,DAF=45-30=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD.由【类比引申】的结论可得EF=BE+DF=40(+1)109米.,二、思考与探究(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图).第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到PBC.,(1)说明PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,其邻边长为acm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.,【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.,解析(1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC,因此PBC是等边三角形.(2)本题答案不唯一,下列解法供参考.如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位似中心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2.(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.,思路分析(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PBC是等边三角形;(2)依据旋转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,即可画出图形;(4)证明AEFDCE,得出=,设AE=xcm,则AD=CD=4xcm,DE=AD-AE=3xcm,在RtCDE中,由勾股定理得出方程,进而得出边长的最小值.,三、实践与探究(2016山西,22,12分)综合与实践问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.操作发现(1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的,ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是;(2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如图3所示的ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移acm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.图4,解析(1)菱形.(2)证明:如图,作AECC于点E.由旋转得AC=AC,CAE=CAE=BAC.由题意知BA=BC,BCA=BAC.CAE=BCA,AEBC.同理,AEDC,BCDC.又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形.又AEBC,CEA=90,BCC=180-CEA=90,四边形BCCD是矩形.(3)过点B作BFAC,垂足为F.,一、拓展与探究,教师专用题组,1.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0MG.(11分)过点O作OHMN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3.OM=3.MF=OM+r=3+13.喷灌龙头的射程至少为(3+13)米(约为19.71米).(12分),思路分析(1)根据等边三角形的轴对称性和内心可知:ABC的内心与外心重合,构造直角三角形运用勾股定理求出OA的长;(2)运用矩形的中心对称性可知PQ一定经过矩形ABCD的对称中心O,通过构造直角三角形,运用勾股定理可以求出PQ的长;(3)一是根据圆的对称性找出圆心,运用垂径定理和勾股定理可求出该圆的半径,二是利用相似判断出点O与三角形AMB的位置关系,最后根据“三角形的两边之和大于第三边”确定喷灌龙头的最远射程为MF的长.,易错警示本题容易出错的地方是第(3)问,误把MA的长当作草坪上的点到点M的最大距离.,3.(2016陕西,25,12分)问题提出(1)如图,已知ABC.请画出ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3)如图,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使EFG=90,EF=FG=米,EHG=45.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AFBF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.,解析(1)如图,ADC即为所画.(2分)(2)存在.理由如下:如图,作点E关于CD所在直线的对称点E,作点F关于BC所在直线的对称点F,连接EF,交BC于点G,交CD于点H,连接FG、EH,则FG=FG,EH=EH,所以此时四边形EFGH的周长最小.这是因为:在BC上任取一点G,在CD上任取一点H,则FG+GH+HE=FG+GH+HEEF.(4分),由作图及已知得:BF=BF=AF=2,DE=DE=2,AF=6,AE=8.又A=90,EF=10,又由已知可得EF=2,(6分)四边形EFGH周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+EF=2+10.在BC、CD上分别存在点G、H,使四边形EFGH的周长最小,最小值是2+10.(7分)(3)能裁得.(8分)理由如下:如图,EF=FG=,EFG=90,A=B=90,且易知1=2,AEFBFG.AF=BG,AE=BF.设AF=x,则AE=BF=3-x.x2+(3-x)2=()2.解之,得x=1或x=2(舍去).AF=BG=1,BF=AE=2.(9分)DE=4,CG=5.,连接EG,作EFG关于EG所在直线的对称EOG,则四边形EFGO为正方形,EOG=90.以点O为圆心,OE长为半径作O,则使EHG=45的点H在O上.连接FO,并延长交O于点H,则点H在EG中垂线上.连接EH、GH,则EHG=45.此时,四边形EFGH是要想裁得的四边形EFGH中面积最大的.连接CE,则CE=CG=5.点C在线段EG的中垂线上.点F、O、H、C在一条直线上.又EG=,FO=EG=.,又知CF=2,OC=.又OH=OE=FG=,OHOC.点H在矩形ABCD的内部.(11分)可以在矩形板材ABCD中,裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH部件,这个部件的面积=EGFH=(+)=5+.当所裁得的四边形部件为四边形EFGH时,裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面积为m2.(12分),
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